Question

【題目】（1）如圖，已知AB、CD是大圓⊙O的弦，AB＝CD，M是AB的中點(diǎn)．連接OM，以O為圓心，OM為半徑作小圓⊙O．判斷CD與小圓⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）已知⊙O，線段MN，P是⊙O外一點(diǎn)．求作射線PQ，使PQ被⊙O截得的弦長(zhǎng)等于MN．

（不寫作法，但保留作圖痕跡）

Answer 1

【答案】（1）相切，證明見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CD，連接OA，OC，根據(jù)垂徑定理及其推論可得∠AMO=∠ONC=90°，AM=CN，從而求證△AOM≌△CON，從而判定CD與小圓O的位置關(guān)系；（2）在圓O上任取一點(diǎn)A，以A為圓心，MN為半徑畫弧，交圓O于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)O做AB的垂線，交AB于點(diǎn)C，然后以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑畫圓，連接PO，取PO的中點(diǎn)D，以點(diǎn)D為圓心，OD為半徑畫圓，交以O(shè)C為半徑的圓于點(diǎn)E，連接PE，交以O(shè)A為半徑的圓于F,H兩點(diǎn)，F(xiàn)H即為所求.

解：（1）過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CD，連接OA，OC

∵AB、CD是大圓⊙O的弦，AB＝CD，M是AB的中點(diǎn)，ON⊥CD

∴∠AMO=∠ONC=90°，AM=,CN，

∴AM=CN

又∵OA=OC

∴△AOM≌△CON

∴ON=OM

∴CD與小圓O相切

（2）如圖FH即為所求