Question

如圖，已知直線AB與x軸、y軸分別交于A和B，OA=4，且OA、OB長是關于x的方程x²-mx+12=0的兩實根，以OB為直徑的⊙M與AB交于C，連接CM并延長交x軸于N。

（1）求⊙M的半徑。
（2）求線段AC的長。
（3）若D為OA的中點，求證：CD是⊙M的切線。

Answer 1

解：（1）∵OA=4
∴A（4，0）
又OA·OB長是x²-mx+12=0的兩根
∴OA·OB=1
2∴OB=3
故B（0，3）
∵OB為直徑
∴半徑MB=；

（2）連接OC
∵OB是⊙M直徑
∴OC⊥BC
∴OC·AB=OA·OB
∵AB==5
∴OC·5=3·4
∴OC=
∴AC==。

（3）∵OM=OC
∴∠MOC=∠MCO
又CD是Rt△OCA斜邊上中線
∴DC=DO
∴∠DOC=∠DCO
∵∠DOC+∠MOC=90°
∴∠MCO+∠DCO=90°
∴DC⊥MC
∴CD是⊙M的切線。