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        1. 如圖,已知AC⊥CM,點B是射線CM上一點(點B不與點C重合),AC=4,∠CAB的平分線精英家教網(wǎng)AD與射線CM交于點D,過點D作DN⊥AB,垂足為N.
          (1)如果AB=5,求BD的長;
          (2)設(shè)AB=x,BD=y,求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出x的取值范圍;
          (3)當(dāng)AB取何值時,四邊形ACDN的面積是△BDN面積的3倍?
          分析:(1)根據(jù)勾股定理可求BC;根據(jù)角平分線性質(zhì)得CD=DN;根據(jù)△BDN∽△BAC得比例式求解;
          (2)思路同上.
          (3)四邊形ACDN的面積是△BDN面積的3倍,則S△BDN=
          1
          4
          S△ABC,即兩個三角形的相似比為1:2,亦即當(dāng)AB=2BD時,四邊形ACDN的面積是△BDN面積的3倍.
          解答:解:(1)在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=4,AB=5,
          BC=
          AB2-AC2
          =
          52-42
          =3
          .(1分)
          ∵AD是∠CAB的平分線,且DC⊥AC,DN⊥AB,
          ∴DN=DC.(1分)
          在Rt△DNB和Rt△ACB中,∠DBN=∠ABC,
          ∴△DNB∽△ACB.(1分)
          DN
          AC
          =
          DB
          AB
          ,
          3-BD
          4
          =
          BD
          5
          ,
          BD=
          5
          3
          .(1分)

          (2)在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=4,AB=x,
          BC=
          AB2-AC2
          =
          x2-16
          .(1分)
          ∵△DNB∽△ACB,
          DN
          AC
          =
          DB
          AB
          ,
          x2-16
          -y
          4
          =
          y
          x
          .(1分)
          y=
          x
          4+x
          x2-16
          .(1分)
          (x>4).(1分)

          (3)∵S四邊形ACDN=3S△BDN,
          ∴S△ABC=4S△BDN
          又∵△ACB∽△DNB,
          S△ABC
          S△BDN
          =(
          AB
          BD
          )2=4
          ,
          ∴AB=2BD.(1分)
          設(shè)AB=x,則
          x2-16
          -
          1
          2
          x
          4
          =
          1
          2
          ,(1分)
          解方程得:x1=
          20
          3
          ,x2=-4
          .(1分)
          經(jīng)檢驗x1=
          20
          3
          x2=-4
          都是原方程的根,但x2=-4不合題意,舍去.
          x=
          20
          3
          ,即AB=
          20
          3
          時,四邊形ACDN的面積是△BDN面積的3倍.
          點評:此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、解方程等知識點,綜合性強(qiáng),難度大.
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