Question

已知，拋物線y=x²-1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積；
（3）在線段AP上是否存在一點(diǎn)M，使△MBC的周長最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐標(biāo)，令x=0，可求得C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）易求得直線BC的解析式，由于AP∥CB，則它們的斜率相同，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得到直線AP的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式，可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；已知AB的長，及P、C的坐標(biāo)，即可求得△ABP、△ABC的面積，兩個(gè)三角形的面積和即為所求的四邊形ACBP的面積．
（3）延長CA到C′，使得AC′=AC，此時(shí)C、C′關(guān)于直線AP對(duì)稱，過C′作C′D⊥x軸于D，易得△C′DA≌△COA，得AD=OA，C′D=OC，從而求得點(diǎn)C′的坐標(biāo)，連接C′B，那么直線C′B與直線AP的交點(diǎn)即為所求的M點(diǎn)，求出直線BC′的解析式，聯(lián)立直線AP的解析式，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x²-1=0，
解得x₁=1，x₂=-1；
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；（2分）
當(dāng)x=0時(shí)，y=0²-1=-1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1）．（3分）

（2）∵B（1，0），C（0，-1），
∴直線BC：y=x-1；
設(shè)直線AP的解析式為：y=x+h，則有：
-1+h=0，h=1；
則直線AP：y=x+1，
聯(lián)立拋物線的解析式有：

y=x2-1 y=x+1

，
解得

x=-1 y=0

，

x=2 y=3

；
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）；（5分）
S_{四邊形ACBP}=S_△ABC+S_△ABP=

1

2

AB•|y_P-y_C|=

1

2

×2×4=4．（7分）

（3）存在．延長CA到點(diǎn)C′，使AC′=AC，過點(diǎn)C′作C′D⊥x軸于點(diǎn)D，
連接BC′，則BC′與AP的交點(diǎn)即為M點(diǎn)．
∵∠PAC=90°，
∴C與C′關(guān)于AP對(duì)稱．
∵∠C′AD=∠CAO，∠C′DA=∠COA，C′A=CA，
∴△C′DA≌△COA．（8分）
∴DA=OA=1，C′D=CO=1，
∴OD=OA+AD=2，
∴C′點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1）；
∴直線AP與直線BC′的解析式分別為y=x+1、y=-

1

3

x+

1

3

；（10分）
∴解方程組可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-

1

2

，

1

2

）；
∴在線段AP上存在一點(diǎn)M（-

1

2

，

1

2

），使△MBC的周長最�。�（11分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、圖形面積的求法、平面展開-最短路徑等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．