Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點．
（1）求證：四邊形EFGH為正方形；
（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的邊長．

Answer 1

（1）證明：在△ABC中，
∵E、F分別是AB、BC的中點，
∴EF=

1

2

AC
同理FG=

1

2

BD，GH=

1

2

AC，HE=

1

2

BD
在梯形ABCD中，
∵AB=DC，
∴AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE
∴四邊形EFGH為菱形．
設(shè)AC與EH交于點M
在△ABD中，∵E、H分別是AB、AD的中點，
∴EH∥BD，同理GH∥AC
又∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°．
∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°
∴四邊形EFGH為正方形．

（2）連接EG，在梯形ABCD中，
∵E、G分別是AB、DC的中點，
∴EG=

1

2

（AD+BC）=

1

2

（1+3）=2，
在Rt△HEG中，
EG²=EH²+HG²，
4=2EH²，
EH²=2，
則EH=

2

．
即四邊形EFGH的邊長為

2

．