Question

（2012•崇明縣一模）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=-

1

3

x²+bx+c的圖象經(jīng)過點A（-1，1）和點B（2，2），該函數(shù)圖象的對稱軸與直線OA、OB分別交于點C和點D．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式和它的對稱軸；
（2）求證：∠ABO=∠CBO；
（3）如果點P在直線AB上，且△POB與△BCD相似，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）利用由直線OA的表達式y(tǒng)=-x，得點C的坐標為（1，-1），進而求出AB=BC，OA=OC即可得出答案；
（3）首先得出∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD，進而分析得出P點坐標即可．

解答：解：（1）由題意，得

1=- 1 3 -b+c 2=- 4 3 +2b+c

，
解得

b= 2 3 c=2

，
∴所求二次函數(shù)的解析式為：y=-

1

3

x²+

2

3

x+2，
對稱軸為直線x=1；

（2）證明：由直線OA的表達式y(tǒng)=-x，得點C的坐標為（1，-1）．
∵AB=

10

，BC=

10

，∴AB=BC．
又∵OA=

2

，OC=

2

，∴OA=OC，
∴∠ABO=∠CBO．

（3）由直線OB的表達式y(tǒng)=x，得點D的坐標為（1，1）．
由直線AB的表達式：y=

1

3

x+

4

3

，
得直線與x軸的交點E的坐標為（-4，0）．
∵△POB與△BCD相似，∠ABO=∠CBO，
∴∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD．
（i）當∠BOP=∠BDC時，由∠BDC=135°，得∠BOP=135°．
∴點P不但在直線AB上，而且也在x軸上，即點P與點E重合．
∴點P的坐標為（-4，0）．
（ii）當∠BOP=∠BCD時，連接PO，
由△POB∽△BCD，得

BP

BO

=

BD

BC

．
而BO=2

2

，BD=

2

，BC=

10

，
∴BP=

2

5

10

．
又∵BE=2

10

，
∴PE=

8

5

10

．
作PH⊥x軸，垂足為點H，BF⊥x軸，垂足為點F．
∵PH∥BF，
∴

PH

BF

=

PE

BE

=

EH

EF

．
而BF=2，EF=6，
∴PH=

8

5

，EH=

24

5

．
∴OH=

4

5

．
∴點P的坐標為（

4

5

，

8

5

）．
綜上所述，點P的坐標為（-4，0）或（

4

5

，

8

5

）．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)綜合應用，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論求出是解題關(guān)鍵．