Question

已知：二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個根，且A點坐標為（-6，0）．
（1）求此二次函數的表達式；
（2）若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的基礎上試說明S是否存在最大值？若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）解方程x²-10x+16=0求得x₁=2，x₂=8，根據題意，得A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8）代入解析式y(tǒng)=ax²+bx+c，列方程求a、b、c的值即可；
（2）過點F作FG⊥AB，垂足為G，由EF∥AC，得△BEF∽△BAC，利用相似比求EF，sin∠FEG=sin∠CAB=

FG

EF

=

4

5

，求FG，根據S=S_△BCE-S_△BFE求S與m之間的函數關系式；
（3）利用配方法將（2）中S與m之間的函數關系式寫出頂點式，可求S有最大值時，m的值，從而確定點E的坐標和△BCE的形狀．

解答：解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8，
∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC，
∴B、C三點的坐標分別是B（2，0）、C（0，8），
將A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8）代入表達式y(tǒng)=ax²+bx+8，

0=36a-6b+8 0=4a+2b+8

解得

a=- 2 3 b=- 8 3

∴所求二次函數的表達式為y=-

2

3

x²-

8

3

x+8；

（2）∵AB=8，OC=8，依題意，AE=m，則BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，∴AC=10．
∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．
∴

EF

AC

=

BE

AB

．即

EF

10

=

8-m

8

．∴EF=

40-5m

4

．
過點F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

．
∴

FG

EF

=

4

5

．∴FG=

4

5

•

40-5m

4

=8-m．
∴S=S_△BCE-S_△BFE=

1

2

（8-m）×8-

1

2

（8-m）（8-m）
=

1

2

（8-m）（8-8+m）=

1

2

（8-m）m=-

1

2

m²+4m．
自變量m的取值范圍是0＜m＜8．

（3）存在．理由如下：
∵S=-

1

2

m²+4m=-

1

2

（m-4）²+8，且-

1

2

＜0，
∴當m=4時，S有最大值，S_最大值=8．
∵m=4，∴點E的坐標為（-2，0）
∴△BCE為等腰三角形．
（其它正確方法參照給分）

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據已知條件求解析式，利用相似表示相關線段，求三角形的面積，利用二次函數的性質求面積的最大值．