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        1. 如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,E是AD的中點(diǎn),AD=4,BC=6,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合),PE與BD相交于點(diǎn)O,設(shè)PB的長(zhǎng)為x.
          (1)當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),求證:△BOP∽△DOE.
          (2)當(dāng)x=
          2
          2
          時(shí),四邊形ABPE是平行四邊形;當(dāng)x=
          3
          3
          時(shí),四邊形ABPE是直角梯形;
          (3)當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,四邊形ABPE會(huì)不會(huì)是等腰梯形?試說(shuō)明理由.
          分析:(1)△BOP和△DOE中,已知的條件有:對(duì)頂角∠BOP=∠DOE;根據(jù)AD∥BC,可得出內(nèi)錯(cuò)角∠PBO=∠EDO,由此可判定兩個(gè)三角形相似;
          (2)由于AE∥BP,所以當(dāng)BP=AE=2時(shí),四邊形ABPE是平行四邊形;由于AE∥BP,所以當(dāng)P為BC的中點(diǎn),即BP=3時(shí),可證EP⊥BC,四邊形ABPE是直角梯形;
          (3)由于AE∥BP,梯形ABCD是等腰梯形,所以當(dāng)PB=4,PC=ED=2時(shí),四邊形CDEP是平行四邊形,此時(shí)四邊形ABPE是等腰梯形.
          解答:解:(1)∵AD∥BC,
          ∴∠PBO=∠EDO.
          ∵∠BOP=∠DOE,
          ∴△BOP∽△DOE;

          (2)∵E是AD的中點(diǎn),AD=4,
          ∴AE=DE=2.
          ∵AE∥BP,
          ∴當(dāng)BP=AE,即x=2時(shí),四邊形ABPE是平行四邊形.如圖1;
          如圖2.
          連接BE、CE.
          ∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,
          ∴∠A=∠D.
          在△ABE與△DCE中,
          AB=DC
          ∠A=∠D
          AE=DE
          ,
          ∴△ABE≌△DCE,
          ∴BE=CE,
          ∴當(dāng)BP=CP=
          1
          2
          BC=3時(shí),EP⊥BC,
          又∵AE∥PB且AE≠PB,
          ∴四邊形ABPE是直角梯形.
          ∴當(dāng)x=3時(shí),四邊形ABPE是直角梯形.
          故答案為2,3;

          (3)當(dāng)PB=4時(shí),四邊形ABPE是等腰梯形.理由如下:
          ∵AD∥BC即DE∥PC,
          ∴當(dāng)PC=DE=2,即PB=BC-PC=4時(shí),四邊形PCDE是平行四邊形,
          ∴PE=CD,
          又∵AB=CD,
          ∴PE=AB.
          ∵AE∥PB且AE≠PB,
          ∴四邊形ABPE是等腰梯形.
          點(diǎn)評(píng):本題考查了等腰梯形的判定與性質(zhì),平行四邊形、直角梯形的判定,相似三角形的判定與性質(zhì),難度中等.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          =
          S△BOC.(填“>”、“=”或“<”)

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