Question

【題目】將△ABC的邊AB繞點A順時針旋轉α得到AB′，邊AC繞點A逆時針旋轉β得到AC′，α＋β=180°．連接B′C′，作△AB′C′的中線AD．

（初步感知）

（1）如圖①，當∠BAC=90°，BC＝4時，AD的長為______；

（探索證明）

（2）如圖②，△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數(shù)量關系，并證明；

（應用延伸）

（3）如圖③，已知等腰△ACB，AC=BC=m，延長AC到D，延長CB到E，使CD=CE=n,將△CED繞C順時針旋轉一周得到△CE′D′，連接BE′、AD′，若∠CBE′=90°，求AD′的長度（用含m、n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）（2）AD=BC，理由見解析；（3）AD′=.

【解析】（1）首先證明△BAC≌△B′AC′，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題；

（2）結論：AD=BC．如圖，延長AD到E，使得DE=AD，連接B′E，C′E，首先證明四邊形AC′EB′是平行四邊形，再證明△BAC≌△AB′E，即可解決問題；

（3）分情況進行討論即可得.

（1）∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，

∴∠B′AC′=∠BAC=90°，

∵AB=AB′，AC=AC′，

∴△BAC≌△B′AC′，

∴BC=B′C′，

∵B′D=DC′，

∴AD=B′C′=BC==2，

故答案為：2；

（2）AD=BC，理由如下：

如圖，延長AD至點E，使得DE=AD，

∵B′D=C′D，∴四邊形AC′EB′為平行四邊形，

∴B′E∥AC′，B′E=AC′=AC，∴∠AB′E＋∠B′AC′=180°，

∵α＋β=180°，∴∠BAC＋∠B′AC′=180°，∴∠AB′E=∠BAC，

∵AB′=AB，∴△AB′E≌△BAC，∴AE=BC，

∴AD=AE=BC；

（3）情況一：如圖，過點C作△BCE′的中線CF，

在Rt△BCE′中，由勾股定理

得：；

∴BF=BE′=，

在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF===，

由（2）可知：AD′=；

情況二：如圖，作△CBE′的中線CF并延長到G，使FG=CF，連接BG、E′G，

∵BF=E′F，CF=GF，∴四邊形BCE′G為平行四邊形，

∴BC=GE′，BC∥GE′，∵BC=AC，∴AC=GE′，

由旋轉可知∠1=∠BCE′，∵∠1+∠ACD′=180°，∠GE′C+∠BCE′=180°，∴∠ACD′=∠GE′C，

∵CD′=E′C，∴△ACD′≌△GE′C，∴AD′=GC

由情況一可知：BE′=，AD′=．