Question

如圖，在梯形ABCD，AD∥BC，AC⊥BD于點(diǎn)0，AB=DC，AD=3，BC=7，則下列結(jié)論：①∠OCB=45°；②S_△AOB=S_△OCD=

21

4

；③S_梯形ABCD=25；④AD和BC兩平行線間的距離為5，其中正確的有

①②③④

．（填入序號(hào)）．

Answer 1

分析：過點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，可得四邊形ACED是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得CE=AD，求出BE的長(zhǎng)度，再證明梯形ABCD是等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的對(duì)角線相等以及AC⊥BD可得△BDE是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可判斷出①正確，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)D到BE的距離，點(diǎn)O到BC的距離，然后根據(jù)S_△AOB=S_△OCD=S_△ABC-S_△OBC，代入數(shù)據(jù)列式進(jìn)行計(jì)算即可判斷出②正確；根據(jù)梯形的面積公式代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求出③正確；D到BC的距離即為AD和BC兩平行線間的距離．

解答：解：如圖，過點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∵AD∥BC，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴CE=AD，AC=DE，
∵AD=3，BC=7，
∴BE=BC+CE=7+3=10，
∵AC⊥BD于點(diǎn)0，
∴BD⊥DE，
又∵AD∥BC，AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴BD=DE，
即Rt△BDE是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，故①小題正確；
∴點(diǎn)D到BE的距離為

1

2

BE=

1

2

×10=5，
點(diǎn)O到BC的距離為

1

2

BC=

1

2

×7=

7

2

，
S_△AOB=S_△OCD=S_△ABC-S_△OBC，
=

1

2

×7×5-

1

2

×7×

7

2

=

21

4

，故②小題正確；
S_梯形ABCD=

1

2

（3+7）×5=25，故③小題正確；
AD和BC兩平行線間的距離為點(diǎn)D到BC的距離，為5，故④小題正確；
綜上所述，正確的有①②③④．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線把兩對(duì)角線轉(zhuǎn)互為同一個(gè)三角形的兩邊是解題的關(guān)鍵，梯形的問題關(guān)鍵在于準(zhǔn)確作出合適的輔助線．