Question

（2013•寶安區(qū)二模）如圖1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，點(diǎn)A，B，E在同一條直線(xiàn)上，連接DF，且P是線(xiàn)段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC．
（1）如圖1中，PG與PC的位置關(guān)系是

CP⊥GP

，數(shù)量關(guān)系是

CP=GP

；
（2）如圖2將條件“正方形ABCD和正方形BEFG”改為“矩形ABCD和矩形BEFG”其它條件不變，求證：PG=PC；
（3）如圖3，若將條件“正方形ABCD和正方形BEFG”改為“菱形ABCD和菱形BEFG”，點(diǎn)A，B，E在同一條直線(xiàn)上，連接DF，P是線(xiàn)段DF的中點(diǎn)，連接PG、PC，且∠ABC=∠BEF=60°，求

PG

PC

的值．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H，由條件可以得出△DHP≌△FGP，就可以得出DH=GF，PH=PG，根據(jù)正方形的性質(zhì)就可以得出HC=GC，從而由等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論；
（2）如圖2，延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H，由條件可以得出△DHP≌△FGP，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（3）如圖2，延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H，由條件可以得出△DHP≌△FGP，根據(jù)菱形的性質(zhì)可以得出△HCG是等腰三角形，由菱形的內(nèi)角和可以求出∠PCG=60°，由特殊角的三角函數(shù)值就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）PG⊥PC且PG=PC；
理由：如圖1，延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H，
∵四邊形ABCD和BEFG是正方形，
∴DC=BC，BG=GF，∠FGB=∠GCD=∠DCB=90°，
∴CD∥GF，
∴∠CDP=∠GFP．
∵P是線(xiàn)段DF的中點(diǎn)，
∴DP=FP．
∵在△DHP和△FGP中，

∠CDP=∠GFP DP=FP ∠DPH=∠FPG

，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴DH=FG，PH=PG，
∴HC=GC，
∴△HCG是等腰直角三角形，
∵PH=PG
∴PG⊥PC且PG=PC．

（2）如圖2，延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H，
∵四邊形ABCD和BEFG是矩形，
∴FGB=∠GCD=∠DCB=90°，
∴CD∥GF，
∴∠CDP=∠GFP．
∵P是線(xiàn)段DF的中點(diǎn)，
∴DP=FP．
∵在△DHP和△FGP中，

∠CDP=∠GFP DP=FP ∠DPH=∠FPG

，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴PH=PG=

1

2

HG，
∵∠DCB=90°，
∴△HCG是直角三角形，
∴CP=

1

2

HG，
∴PG=PC；

（3）如圖3，延長(zhǎng)GP交CD于H，
∵P是DF的中點(diǎn)，
∴DP=FP．
∵四邊形ABCD和四邊形BEFG是菱形，點(diǎn)A，B，E在同一條直線(xiàn)上，
∴DC∥GF，
∴∠HDP=∠GFP．
∵在△DHP和△FGP中，

∠CDP=∠GFP DP=FP ∠DPH=∠FPG

，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴HP=GP   DH=FG         
∵CD=CB，F(xiàn)G=GB
∴CD-DH=CB-FG
即：CH=CG
∴△HCG是等腰三角形，
∴PC⊥PG∠HCP=∠GCP（等腰三角形三線(xiàn)合一） 
∴∠CPG=90°．
∵∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
∴∠GCP=

1

2

∠DCB=60°，
∴Rt△CPG中：

PG

PC

=tan60°=

3

．
故答案為：PG⊥PC，PG=PC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，菱形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)用．解答時(shí)證明三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．