Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，1）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（1），設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使△CDH的周長(zhǎng)最小，求出H點(diǎn)的坐標(biāo)并求出最小周長(zhǎng)值．

（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合），經(jīng)過A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí)，求面積的最小值及E點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點(diǎn)A（3，0），B（4，1）代入可得：

，

解得： ，

故函數(shù)解析式為y= x2﹣ x+3

（2）解：如圖1中，連接DC、AC，AC交對(duì)稱軸于H，連接DH，此時(shí)△CDH的周長(zhǎng)最�。�

∵A、D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，HD=HA，x

∴DH+CH=AC= =5，CD= = ，

∴△CDH的周長(zhǎng)的最小值為5+ ，

∵A（3，0），C（3，0），

∴直線AC的解析式為y=﹣x+3，

∴H（ ， ）

（3）解：如圖2中，作BD⊥OA于D．

∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），

∴OA=OC=3，AD=BD=1，

∴∠OAC=∠BAD=45°，

∵∠OAF=∠BAD=45°，

∴∠EAF=90°，

∴EF是△AEO的外接圓的直徑，

∴∠EOF=90°，

∴∠EFO=∠EAO=45°，

∴△EOF是等腰直角三角形，

∴當(dāng)OE最小時(shí)，△EOF的面積最小，

∵OE⊥AC時(shí)，OE最小，OC=OA，

∴CE=AE，OE= AC= ，

∴E（ ， ），S△EOF= = ．

∴當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí)，面積的最小值為 ，E點(diǎn)坐標(biāo)（ ， ）

【解析】（1）把點(diǎn)A（3，0），B（4，1）的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）如圖1中，連接DC、AC，AC交對(duì)稱軸于H，連接DH，此時(shí)△CDH的周長(zhǎng)最�。�（3）如圖2中，作BD⊥OA于D．首先證明△EOF是等腰直角三角形，當(dāng)OE⊥AC時(shí)，△EOF的面積最�。�