Question

【題目】如圖1，在中，，，，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作，交AB于點D，連接PQ，點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．

直接用含t的代數(shù)式分別表示：______，______；

是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

如圖2，在整個運動過程中，求出線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長．

Answer 1

【答案】（1），；（2）詳見解析；（3）2

【解析】

由根據(jù)路程等于速度乘以時間可得,,,則,根據(jù),,可得:,根據(jù)相似三角形的判定可得:∽,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得:

,即,從而解得:,

(2)根據(jù),當時,可判定四邊形PDBQ為平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得:,解得:,

(3)根據(jù)題意可得:,當時,點的坐標為,當時,點的坐標為,

設直線的解析式為:,則,解得:,因此直線的解析式為:,再根據(jù)題意得:點P的坐標為,點Q的坐標為,因此在運動過程中PQ的中點M的坐標為,當時,,因此點M在直線上,作軸于N,則,,由勾股定理得,,

因此線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長為.

由題意得,,,

則,

,,

,

∽,

,即,

解得:,

故答案為:,,

存在,

,

當時,四邊形PDBQ為平行四邊形,

,

解得:,

則當時,四邊形PDBQ為平行四邊形,

以點C為原點,以AC所在的直線為x軸,建立如圖2所示的平面直角坐標系,

由題意得:,

當時,點的坐標為,

當時,點的坐標為,

設直線的解析式為:,

則,

解得:,

直線的解析式為：,

由題意得:點P的坐標為,點Q的坐標為,

在運動過程中PQ的中點M的坐標為,

當時,,

點M在直線上,

作軸于N,

則,,

由勾股定理得,,

線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長為.