Question

如圖，Rt△ABO的邊OB在x軸上，且∠ABO=90°，AB：BO=3：4，點(diǎn)A剛好落在雙曲線y=

48

x

上．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）以O(shè)為位似中心，在y軸的右側(cè)按1：2的比例畫出△ABO縮小后的位似圖形△A′B′O，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為B′；
（3）試在x軸上確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，使以A′、B′、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，寫出計(jì)算過(guò)程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4k，3k），將點(diǎn)A代入反比例函數(shù)解析式可得出k的值，繼而可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)位似中心為點(diǎn)O，可作出y軸右側(cè)的位似圖形．
（3）根據(jù)（2）可得∠A'B'P=90°，要想使以A′、B′、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似需要滿足

A′B′

AB

=

B′P

OB

或

A′B′

BO

=

B′P

AB

，分類討論可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵AB：BO=3：4，且OB=x_A，AB=y_A，
∴y_A=3k，x_A=4k，
∵點(diǎn)A在雙曲線y=

48

x

上，
∴12k²=48，
解得：k=±2，
∵如圖點(diǎn)A在第一象限，
∴x_A=8，y_A=6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，6）．
（2）

（3）∵點(diǎn)P在x軸上，
∴∠A'B'P=∠ABO=90°，

要使以A'、B'、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，還需

A′B′

AB

=

B′P

OB

或

A′B′

BO

=

B′P

AB

，
由第（1）小題可得AB=6，BO=8，
由第（2）小題可得，A'B'=3，A'（4，3），B'（4，0），
①當(dāng)

A′B′

AB

=

B′P

OB

時(shí)，

3

6

=

B′P

8

，
解得：B'P=4，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）或（8，0）；
②當(dāng)

A′B′

BO

=

B′P

AB

時(shí)，

3

8

=

B′P

6

，
解得：B'P=

9

4

，
則|x_P-x_B'|=

9

4

，即|x_P-4|=

9

4

，
解得：x_P=

7

4

或x_P=

25

4

，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

7

4

，0）或（

25

4

，0），
綜上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）或（8，0）或（

7

4

，0）或（

25

4

，0）可使以A'、B'、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)的綜合題，涉及了反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，位似作圖、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要同學(xué)們熟練各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并能將各知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通．