Question

（2010•博野縣三模）如圖甲，操作：把正方形CGEF的對(duì)角線，CE放在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CG＞BC），取線段AE的中點(diǎn)M．
（1）探究線段MD、MF的位置及數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案即可；
（2）將正方形CGEF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°（如圖乙），令CG=2BC其他條件不變，結(jié)論是否發(fā)生變化，并加以證明；
（2）將正方形CGEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度后（如圖丙），其他條件不變．探究：線段MD，MF的位置及數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用測量或觀察的方法即可作出判斷；
（2）易證明△AMD≌△EMN，得到AD=EN，MD=MN，再根據(jù)CF=2AD，EF=2EN，得到：FD=FN．從而證得FM⊥MD，MF=MD；
（3）延長DM到N，使MN=MD，連接FD、FN、EN，延長EN與DC延長線交于點(diǎn)H．證明△DCF≌△NEF，即可得到線段MD，MF的位置及數(shù)量關(guān)系．
解答：解：（1）MD=MF，MD⊥MF；（2分）

（2）結(jié)論不變MD=MF，MD⊥MF，
證明：如圖乙，延長DM交FE于N．
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，
∴∠1=∠2．
在△AMD與△EMN中，
∵，
∴△AMD≌△EMN，
∴AD=EN，MD=MN，
∵CF=2AD，EF=2EN，
∴FD=FN．
又∵∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD；（6分）

（3）MD=MF，MD⊥MF，
證法一：如圖丙，延長DM到N，
使MN=MD，連接FD、FN、EN，
延長EN與DC延長線交于點(diǎn)H．
在△AMD與△EMN中，
∵，
∴△AMD≌△EMN，
∴∠3=∠4，AD=NE．
又∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90°，
∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°．
∴DC=NE．
∵∠3=∠4，
∴AD∥EH．
∴∠H=∠ADC=90°．
∵∠G=90°，∠5=∠6，
∴∠7=∠8．
∵∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，
∴∠DCF=∠FEN．
在△DCF與△NEF中，
∵，
∴△DCF≌△NEF，
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD．（10分）
證法二：如圖丙，過點(diǎn)E作AD的平行線分別交DM、DC的延長線于N、H，連接DF、FN．
∴∠ADC=∠H，∠3=∠4．
∵AM=ME，∠1=∠2，
∴△AMD≌△EMN，
∴DM=NM，AD=EN．
∵四邊形ABCD、四邊形CGEF是正方形，
∴AD=DC，F(xiàn)C=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，
∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，
∴∠DCF=∠5=∠NEF．
在△DCF與△NEF中，
∵，
∴△DCF≌△NEF．
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE，
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)--旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．