Question

（2011•錦州）如圖（1）～（3），已知∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)P，∠CPD的兩邊與射線OA、OB交于點(diǎn)C、D，連接CD交OP于點(diǎn)G，設(shè)∠AOB=α（0°＜α＜180°），∠CPD=β．
（1）如圖（1），當(dāng)α=β=90°時(shí)，試猜想PC與PD，∠PDC與∠AOB的數(shù)量關(guān)系（不用說(shuō)明理由）；
（2）如圖（2），當(dāng)α=60°，β=120°時(shí)，（1）中的兩個(gè)猜想還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖（3），當(dāng)α+β=180°時(shí)，
①你認(rèn)為（1）中的兩個(gè)猜想是否仍然成立，若成立請(qǐng)直接寫出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②若

PD

PG

=2，求

PD

PO

的值．

Answer 1

分析：（1）作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，證明△PDF≌△PCE可得PC=PD；根據(jù)四邊形內(nèi)角和及等腰三角形性質(zhì)可得∠PDC=

1

2

∠AOB；
（2）根據(jù)（1）的思路可證結(jié)論成立；
（3）根據(jù)上面思路猜想，成立；根據(jù)上面結(jié)論可證△PDG∽△POD，從而求解．

解答：解：（1）PC=PD，∠PDC=

1

2

∠AOB．

（2）成立．理由如下：
作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，如圖．
∵OP平分∠AOB，
∴PE=PF．
在四邊形EOFP中，
∵∠AOB=60°，∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF=120°，即∠EPC+∠CPF=120°．
又∠CPD=120°，即∠DPF+∠CPF=120°．
∴∠EPC=∠DPF．
∴△EPC≌△FPD．
∴PC=PD，
∴∠PDC=

180°-∠CPD

2

=30°．
∵∠AOB=60°，
∴∠PDC=

1

2

∠AOB，

（3）①成立，
②∵∠PDC=

1

2

∠AOB，
∠POD=

1

2

∠AOB，
∴∠PDC=∠POD．
又∠DPG=∠DPO，
∴△PGD∽△PDO．
∴

PD

PG

=

PO

PD

．
又　

PD

PG

=2，
∴

PD

PO

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查三角形相似（包括全等）的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大．