Question

如圖，直線y=-

3

3

x+

3

分別與x軸、y軸交于點A、B，⊙E經過原點O及A、B兩點．
（1）C是⊙E上一點，連接BC交OA于點D，若∠COD=∠CBO，求點A、B、C的坐標；
（2）求經過O、C、A三點的拋物線的解析式；
（3）若延長BC到P，使DP=2，連接AP，試判斷直線PA與⊙E的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據直線AB的解析式求出A、B兩點的坐標，即可得出OB、OA、AB的長，已知了∠COD=∠CBD，那么C就是弧AO的中點，如果連接EC，根據垂徑定理可得出EC⊥OA，設垂足為N，那么ON=

1

2

OA，而NC可通過EC-EN求得（EN是OB的一半），由此可得出C點坐標；
（2）已知了O、A、C三點坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（3）根據OA、OB的長，不難得出∠ABO=60°，那么∠ABP=∠OBP=30°，因此可得出∠ODB=∠ADP=60°，在直角三角形OBD中，可根據OB的長和∠OBD的正切值求出OD的長，即可求出AD的長為2，因此AD=DP，那么三角形ADP就是等邊三角形，在三角形ABP中，∠ABP=30°，∠P=60°，因此∠BAP=90°即可證得PA與圓E相切．

解答：解：（1）連接EC交x軸于點N（如圖）．
∵A、B是直線y=-

3

3

x+

3

分別與x軸、y軸的交點．
∴A（3，0），B（0，

3

）．
又∵∠COD=∠CBO，
∴∠CBO=∠ABC．
∴C是

OA

的中點，
∴EC⊥OA．
∴ON=

1

2

OA=

3

2

，EN=

OB

2

=

3

2

．
連接OE．
∴EC=OE=

3

．
∴NC=EC-EN=

3

2

．
∴C點的坐標為（

3

2

，-

3

2

）；

（2）設經過O、C、A三點的拋物線的解析式為y=ax（x-3）．
∵C（

3

2

，-

3

2

），
∴-

3

2

=a•

3

2

（

3

2

-3）．
∴a=

2 3

9

．
∴y=

2 3

9

x²-

2 3

3

x為所求；

（3）∵tan∠BAO=

3

3

，
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°．
由（1）知∠OBD=∠ABD．
∴∠OBD=

1

2

∠ABO=

1

2

×60°=30°．
∴OD=OB•tan30°=1．
∴DA=2．
∵∠ADC=∠BDO=60°，PD=AD=2．
∴△ADP是等邊三角形．
∴∠DAP=60°．
∴∠BAP=∠BAO+∠DAP=30°+60°=90°．
即PA⊥AB．
即直線PA是⊙E的切線．

點評：本題考查了圓周角定理、垂徑定理、二次函數解析式的確定、切線的判定等知識．