Question

（2012•孝感）如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，三個交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若P為線段BD上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC面積的最大值和此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若P為拋物線在第一象限上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥AC交x軸于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（2，3）

時，四邊形PQAC是平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（

11

4

，

15

16

）

時，四邊形PQAC是等腰梯形（直接寫出結(jié)果，不寫求解過程）．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后化為頂點(diǎn)式求出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）本問關(guān)鍵是求出四邊形PMAC面積的表達(dá)式，這個表達(dá)式是關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)求極值的方法求出面積的最大值，并求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）四邊形PQAC為平行四邊形或等腰梯形時，需要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)求出P點(diǎn)坐標(biāo)：
①當(dāng)四邊形PQAC為平行四邊形時，如答圖1所示．構(gòu)造全等三角形求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用P點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于對稱軸x=1對稱的特點(diǎn)，求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
②當(dāng)四邊形PQAC為平行四邊形時，如答圖2所示．利用等腰梯形、平行四邊形、全等三角形以及線段之間的三角函數(shù)關(guān)系，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．注意三角函數(shù)關(guān)系部分，也可以用相似三角形解決．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)C（0，3）
∴當(dāng)x=0時，c=3．
又∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）
∴

0=a-b+3 0=9a+3b+3

，解得

a=-1 b=2

∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3
又∵y=-x²+2x+3，y=-（x-1）²+4
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，4）．

（2）設(shè)直線BD的解析式為y=kx+n（k≠0）
∵直線y=kx+n過點(diǎn)B（3，0），D（1，4）
∴

0=3k+n 4=k+n

，解得

k=-2 n=6

∴直線BD的解析式：y=-2x+6
∵P點(diǎn)在線段BD上，因此，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，-2m+6）
又∵PM⊥x軸于點(diǎn)M，∴PM=-2m+6，OM=m
又∵A（-1，0），C（0，3）∴OA=1，OC=3
設(shè)四邊形PMAC面積為S，則
S=

1

2

OA•OC+

1

2

（PM+OC）•OM=

1

2

×1×3+

1

2

（-2m+6+3）•m
=-m²+

9

2

m+

3

2

=-（m-

9

4

）²+

105

16

∵1＜

9

4

＜3
∴當(dāng)m=

9

4

時，四邊形PMAC面積的最大值為

105

16

，
將x=

9

4

代入y=-2x+6 解得y=

3

2

，
此時，P點(diǎn)坐標(biāo)是（

9

4

，

3

2

）．

（3）答案：（2，3）；（

11

4

，

15

16

）．
*注：以下給出解題簡要過程，原題并無此要求******
①四邊形PQAC是平行四邊形，如右圖①所示．
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，易證△AOC≌△QEP，∴y_P=PE=CO=3．
又CP∥x軸，則點(diǎn)C（0，3）與點(diǎn)P關(guān)于對稱軸x=1對稱，∴x_P=2．
∴P（2，3）．
②四邊形PQAC是等腰梯形，如右圖②所示．
設(shè)P（m，n），P點(diǎn)在拋物線上，則有n=-m²+2m+3．
過P點(diǎn)作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則PE=n．
在Rt△OAC中，OA=1，OC=3，∴AC=

10

，tan∠CAO=3，cos∠CAO=

10

10

；
∵PQ∥CA，∴tan∠PQE=

PE

QE

=tan∠CAO=3，
∴QE=

1

3

n，PQ=

QE2+PE2

=

10

3

n．
過點(diǎn)Q作QM∥PC，交AC于點(diǎn)M，則四邊形PCMQ為平行四邊形，△QAM為等腰三角形．再過點(diǎn)Q作QN⊥AC于點(diǎn)N．
則有：CM=PQ=

10

3

n，AN=

1

2

AM=

1

2

（AC-CM）=

10

2

（1-

1

3

n），
AQ=

AN

cos∠CAO

=

10 2 (1- 1 3 n)

10 10

=5（1-

1

3

n）．
又AQ=AO+OQ=1+（m-

1

3

n），
∴5（1-

1

3

n）=1+（m-

1

3

n），化簡得：n=3-

3

4

m；
又P點(diǎn)在拋物線上，有n=-m²+2m+3，
∴-m²+2m+3=3-

3

4

m，化簡得：m²-

11

4

m=0，解得m₁=0（舍去），m₂=

11

4

∴m=

11

4

，n=3-

3

4

m=

15

16

，
∴P（

11

4

，

15

16

）．

點(diǎn)評：本題綜合考查了諸多重要的知識點(diǎn)，包括：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、二次函數(shù)的極值、圖形面積的求法、等腰梯形、平行四邊形、等腰三角形、三角函數(shù)（或相似三角形）等，涉及考點(diǎn)眾多，有一定的難度．本題難點(diǎn)在于第（3）問等腰梯形的情形，注意該種情形下求點(diǎn)的坐標(biāo)的方法．