Question

在△ABC中，點O是AC上的一個動點，過點O作MN//BC，設MN交∠BCA的平分線于E，交∠BCA的外角平分線于F。

(1)請猜測OE與OF的大小關系，并說明你的理由；

(2)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形?寫出推理過程；

(3)在什么條件下，四邊形AECF是正方形?

Answer 1

解：(1)OE=OF

證明：∵CE為∠BCA的平分線，

      ∴∠BCE=∠ACE，

      ∵MN// BC，

∴∠BCE=∠CEO，

∴∠ACE=∠CEO，

      ∴OE=OC

同理OF=OC

      ∴OE=OF     

(2)點O運動到AC的中點，四邊形AECF為矩形

證明：點O為AC的中點，

由(1)知，O為EF的中點，

∴四邊形AECF為平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)

又∵CE、CF分別為∠BCA的內(nèi)、外角平分線，

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF

         =∠ACB+∠ACG

     =90°  

∴四邊形AECF為矩形(有一個角為直角的平行四邊形是矩形)

(3)只需一組鄰邊，如CE=CF,四邊形AECF是正方形

  理由是：有一組鄰邊相等的矩形是正方形