Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為1的與軸正半軸和軸正半軸分別交于兩點(diǎn)，直線：與軸和軸分別交于兩點(diǎn)．

（l）當(dāng)直線與相切時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），過(guò)點(diǎn)作軸，與交于另一點(diǎn)，連結(jié)交軸于點(diǎn)．

①如圖3，若點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長(zhǎng)并寫(xiě)出解答過(guò)程；

②如圖2，若點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，的長(zhǎng)是否發(fā)生變化，若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出的長(zhǎng)并寫(xiě)出解答過(guò)程；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）如圖4，在（2）的基礎(chǔ)上，連結(jié)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線時(shí)，請(qǐng)用等式直接表示線段，之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是，；（2）①；②不發(fā)生變化，的長(zhǎng)為，理由詳見(jiàn)解析；（3），理由詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）由已知可得點(diǎn)M坐標(biāo)及點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，設(shè)直線與相切于點(diǎn)，連結(jié)，則，易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出OP的值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）①由點(diǎn)與點(diǎn)重合得出，易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出OD的值；

②過(guò)點(diǎn)作的直徑，連結(jié)，，根據(jù)同角的余角相等及等邊對(duì)等角可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出OD的值；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上有可直接使用，由旋轉(zhuǎn)聯(lián)想到構(gòu)造三垂直全等模型，作QR軸，即能用F的坐標(biāo)表示QR、BR等線段長(zhǎng)度，又由得相似，對(duì)應(yīng)邊的比相等得到用F坐標(biāo)表示的等式，利用F在上化簡(jiǎn)式子，并代入求,即能得到與的長(zhǎng)度關(guān)系．

解：（1）如圖1，

∵與軸交于點(diǎn)，

∴當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

∵與軸交于點(diǎn)，

∴點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)．

設(shè)直線與相切于點(diǎn)，連結(jié)，則．

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是，

（2）①如圖2，

∵點(diǎn)與點(diǎn)重合，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

②不發(fā)生變化，的長(zhǎng)為，理由如下：

過(guò)點(diǎn)作的直徑，連結(jié)，，

∴

∵軸，

∴軸，

∴

∵，

∴．

∵，

∴，

∴

∵，

∴，

∴，

∴，

∴

（3）

過(guò)點(diǎn)Q作QR軸與R，設(shè)CF與軸交點(diǎn)為S

線段BF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到BQ

,BQ=BF,

即是等腰直角三角形

在和中

設(shè)，

則

在（2）的基礎(chǔ)上有

,C、D、Q在同一直線上

整理得：

點(diǎn)在上，滿足

代入整理得：

，