Question

21、如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，且CD=AE，AD與BE相交于點(diǎn)P．
（1）求證：∠ABE=∠CAD；
（2）若BH⊥AD于點(diǎn)H，求證：PB=2PH．

Answer 1

分析：（1）欲證∠ABE=∠CAD，可以通過證明△ABE≌△CAD得出；
（2）欲證PB=2PH，因?yàn)锽H⊥AD于點(diǎn)H，在Rt△PBH中根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)由∠BPH=60°即可得到答案．

解答：證明：（1）∵等邊△ABC，
∴AC=AB，∠C=∠CAB．
∵CD=AE，
∴△ABE≌△CAD．
∴∠ABE=∠CAD．

（2）∵∠BPH=∠BAD+∠ABP=∠BAD+∠CAD=60°，
∵BH⊥AD于點(diǎn)H，
∴在Rt△PBH中
∴PB=2PH．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形判定與性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)；求得三角形全等及∠BPH=60°是正確解答本題的關(guān)鍵．