Question

【題目】解決問題：

如圖，半徑為4的外有一點P，且，點A在上，則PA的最大值和最小值分別是______和______．

如圖，扇形AOB的半徑為4，，P為弧AB上一點，分別在OA邊找點E，在OB邊上找一點F，使得周長的最小，請在圖中確定點E、F的位置并直接寫出周長的最小值；

拓展應用

如圖，正方形ABCD的邊長為；E是CD上一點不與D、C重合，于F，P在BE上，且，M、N分別是AB、AC上動點，求周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）11，3；（2）圖見解析，周長最小值為；（3）．

【解析】

根據(jù)圓外一點P到這個圓上所有點的距離中，最遠是和最近的點是過圓心和該點的直線與圓的交點，容易求出最大值與最小值分別為11和3；

作點P關于直線OA的對稱點，作點P關于直線OB的對稱點，連接、，與OA、OB分別交于點E、F，點E、F即為所求，此時周長最小，然后根據(jù)等腰直角三角形求解即可；

類似題作對稱點，周長最小，然后由三角形相似和勾股定理求解．

解：如圖，圓外一點P到這個圓上所有點的距離中，最大距離是和最小距離都在過圓心的直線OP上，

此直線與圓有兩個交點，圓外一點與這兩個交點的距離個分別最大距離和最小距離．

的最大值，

PA的最小值，

故答案為11和3；

如圖，以O為圓心，OA為半徑，畫弧AB和弧BD，作點P關于直線OA的對稱點，作點P關于直線OB的對稱點，連接、，與OA、OB分別交于點E、F，點E、F即為所求．

連接、、OP、PE、PF，

由對稱知識可知，，，，

∴，

，

為等腰直角三角形，

，

周長，此時周長最�。�

故答案為；

作點P關于直線AB的對稱，連接、，作點P關于直線AC的對稱，

連接、，與AB、AC分別交于點M、N．如圖③

由對稱知識可知，，，周長，

此時，周長最小．

由對稱性可知，，，，

∴

，

為等腰直角三角形，

周長最小值，當AP最短時，周長最�。�

連接DF．

，且，

，

，

，，

又，

在與中，，

∽，

，

∴

，取AB中點O．

點F在以BC為直徑的圓上運動，當D、F、O三點在同一直線上時，DF最短．

，

最小值為

此時，周長最小值．