Question

已知拋物線y=ax²+（a+2）x+2a+1與直線y=2-3x至少有一個(gè)交點(diǎn)是整點(diǎn)（直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)），試確定整數(shù)a的值，并求出相應(yīng)的交點(diǎn)（整點(diǎn)）的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線y=ax²+（a+2）x+2a+1與直線y=2-3x至少有一個(gè)交點(diǎn)是整點(diǎn)，將兩式聯(lián)立，得出關(guān)于x的一元二次方程，再利用根與系數(shù)關(guān)系得出，進(jìn)而得出答案．

解答：解：聯(lián)立

y=ax2+(a+2)x+2a+1 y=2-3x

，
得ax²+（a+5）x+2a-1=0（1）
設(shè)（1）的兩根為x₁，x₂，
當(dāng)兩根都為整數(shù)，則x₁•x₂=

2a-1

a

=2-

1

a

為整數(shù)，
∴a=±1，
當(dāng)a=1時(shí)，（1）為x²+6x+1=0無整數(shù)解，
當(dāng)a=-1時(shí)，（1）為x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
對(duì)應(yīng)地y₁=-1，y₂=-7，
∴a=-1，交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）和（3，-7）．
當(dāng)其中一個(gè)根是整數(shù)，
則a=2，同理可得出：交點(diǎn)（-3，11），
a=3，同理可得出：交點(diǎn) （-1，5）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用，根據(jù)已知分類討論得出，再利用解一元二次方程是解題關(guān)鍵．