Question

已知△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且AC=a，點(diǎn)P在△ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)，
（1）求PA+PB+PC的最小值，并說明理由；
（2）比較線段PA+PC與線段PB的大小，并說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上（除去A、B兩端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，若要PA、PB、PC三條線段所構(gòu)成銳角三角形，PA的取值范圍是多少，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于本題P點(diǎn)的位置不確定，因此要分P與A重合，P在AC上，P與C重合，P在BC上，P在AB上五種情況進(jìn)行討論．主要根據(jù)三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行求解；
（2）本題同（1）一樣，也要分類進(jìn)行討論，也是根據(jù)三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行求解．要注意的是P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于無法直接用三角形三邊關(guān)系來求解，因此要通過構(gòu)建特殊值來進(jìn)行判斷，以CA、CB為邊C為頂點(diǎn)在兩邊各取一個(gè)15°角，設(shè)與AB的交點(diǎn)為P₀和D，那么不難得出△ACP₀≌△BCD，因此△P₀CD是個(gè)等邊三角形．
當(dāng)P在AP₀上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA+PC＜PA+AP₀=PA+BD=PB，綜合可得PA+PC＜PB；
當(dāng)P與P₀重合時(shí)，PC+PA=P0C+P0A=P₀D+BD=PB，即PA+PC=PB；
當(dāng)P在P₀B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA+PC=P0P+AP₀+PC=P0P+PC+BD，由于P₀P+PC＞P₀C=P₀D，因此PA+PC=P₀P+PC+BD＞P₀D+BD=PB；
（3）本題要考慮兩種情況：
要使PA，PB，PC構(gòu)成銳角三角形，首先要滿足三邊能組成一個(gè)三角形；
要求出PA，PB，PC構(gòu)成直角三角形時(shí)PA的值；
根據(jù)上面兩種情況求出的PA即可得出PA、PB、PC三條線段所構(gòu)成銳角三角形時(shí)PA的取值范圍．

解答：解：（1）答：PA+PB+PC的最小值為2a．
理由如下：
當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，PA+PB+PC=AC+AB
而AB＞AC，故PA+PB+PC＞2AC=2a
當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不含A、C），PA+PB+PC=AC+PB，而PB＞AC，故PA+PB+PC＞2a
當(dāng)P與C重合時(shí)，PA+PB+PC=AC+CB=2a，可見P在AC運(yùn)動(dòng)時(shí)PA+PB+PC的最小值是2a
同理，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA+PB+PC的最小值為2a
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA+PB+PC=AB+CP，而當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP為最小值，其值為

2

2

a
∴PA+PB+PC=AB+CP≥

2

a+

2

2

a=

3 2

2

a＞2a
綜上，PA+PB+PC的最小值為2a；

（2）答：當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（P與C點(diǎn)不重合），PA+PC＜PB
當(dāng)P與C點(diǎn)重合時(shí)，PA+PC=PB
當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（P與C點(diǎn)不重合），PA+PC＞PB
當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)P₀在線段AB上，且∠ACP₀=15°
當(dāng)P在AP₀（不與P₀重合時(shí)）時(shí)，PA+PC＜PB，當(dāng)P在P₀B（不與P₀重合時(shí)）時(shí)，PA+PC＞PB
當(dāng)P與P₀重合時(shí)，PA+PC=PB，理由如下
當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（P與C點(diǎn)不重合），PA+PC=AC=BC＜PB
當(dāng)P與C點(diǎn)重合時(shí)，PA+PC=AC=BC=PB
當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（P與C點(diǎn)不重合），PA＞AC=BC，而PB＜BC
∴PA+PC＞PB
如圖1，在線段AB上取DB=AP₀，連接CD，易證△AP₀C≌△BDC
則CP₀=CD，∠ACP₀=∠BCD=15°
∴∠P₀CD=60°∴△P₀CD是正三角形，即P₀D=P₀C，因此當(dāng)P與P₀重合時(shí)，AP+PC=PB
當(dāng)P在AP₀（不與P₀重合時(shí)）時(shí)，由于PC-P₀C＜PP₀=AP₀-AP
∴PC+PA＜P₀C+AP₀=P₀D+DB=P₀B＜PB；

如圖2，當(dāng)P在BP₀（不與P₀重合時(shí)）時(shí)，由于PP₀+PC＞P₀C=P₀D
則PP₀+PC+AP₀＞P₀C+AP₀=P₀D+DB=P₀B＞PB
∴PA+PC＞PB；

（3）

3 2 - 6

6

a＜PA＜

6 - 2

2

a或

3 2 - 6

2

a＜PA＜

3 2 + 6

6

a．
理由如下：令P₁為AB的中點(diǎn)，不妨設(shè)P在AP₁上運(yùn)動(dòng)，要PA、PB、PC三條線段能構(gòu)成三角形，須要PC-PA＜PB＜PA+PC
易見PB＞PC＞PA，則PC-PA＜PB
由（2）知，要使PA+PC＞PB，P應(yīng)在P₀B，即∠PCA＞15°
因?yàn)锳P₀=AP₁-P₁P₀=

2

2

a-

2

2

a•cot60°=

2

2

a-

6

6

a=

3 2 - 6

6

a
即PA＞

3 2 - 6

6

a
又知當(dāng)P從在P_oB上從P_o向P₁運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA，PB，PC構(gòu)成的三角形從鈍角變?yōu)橹苯�，再變�(yōu)殇J角
若設(shè)PA=x，則PB=

2

a-x，PC²=（

2

2

a）²+（

2

2

a-x）²=a²-

2

ax+x²
若PA、PB、PC構(gòu)成的三角形是直角三角形，則有PB²=PA²+PC²，即
（

2

a-x）²=a²-

2

ax+x²，x²+

2

ax-a²=0，因x＞0，所以x=

6 - 2

2

a
所以

3 2 - 6

6

a＜PA＜

6 - 2

2

a
同理可說明，當(dāng)P在BP₁上運(yùn)動(dòng)，要PA、PB、PC三條線段若能構(gòu)成鈍角三角形
須要

3 2 - 6

6

a＜PA＜

3 2 + 6

6

a
綜上可得：

3 2 - 6

6

a＜PA＜

6 - 2

2

a或

3 2 - 6

6

a＜PA＜

3 2 + 6

6

a．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形三邊的關(guān)系、全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．綜合性強(qiáng)，難度大．