Question

（本題滿分10分）如圖1，小明將一張直角梯形紙片沿虛線剪開(kāi)，得到矩形和三角形兩張紙片，測(cè)得AB=5，AD=4．在進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了下面的幾個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決．

（1）將△EFG的頂點(diǎn)G移到矩形的頂點(diǎn)B處，再將三角形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使E點(diǎn)落在CD邊上，此時(shí)，EF恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（如圖2），請(qǐng)你求出AE和FG的長(zhǎng)度．

（2）在（1）的條件下，小明先將三角形的邊EG和矩形邊AB重合，然后將△EFG沿直線BC向右平移，至F點(diǎn)與B重合時(shí)停止．在平移過(guò)程中，設(shè)G點(diǎn)平移的距離為x，兩紙片重疊部分面積為y，求在平移的整個(gè)過(guò)程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)重疊部分面積為10時(shí)，平移距離x的值（如圖3）．

（3）在（2）的操作中，小明發(fā)現(xiàn)在平移過(guò)程中，雖然有時(shí)平移的距離不等，但兩紙片重疊的面積卻是相等的；而有時(shí)候平移的距離不等，兩紙片重疊部分的面積也不可能相等．請(qǐng)?zhí)剿鬟@兩種情況下重疊部分面積y的范圍（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）過(guò)B作BM⊥AE于M．根據(jù)△BEM∽△FEB，可求出FG=10；（2）分別求出當(dāng)0≤x≤4時(shí)，和當(dāng)4＜x≤10時(shí)的函數(shù)關(guān)系式，令y=10，分別求出x的值即可；（3）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，，求出函數(shù)值的取值范圍0≤y≤16．，當(dāng)4＜x≤10時(shí)，y=－2x+24，求出函數(shù)值的取值范圍4≤y＜16，然后比較可得.

試題解析：【解析】
（1）過(guò)B作BM⊥AE于M．由AB=BE=5，BC=4．∴CE=3．∴DE=2．∴．

由AB=BE，BM⊥AE，∴．∴．由△BEM∽△FEB，，∴FG=10． ..3分

（2）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，；當(dāng)4＜x≤10時(shí)，y=－2x+24，當(dāng)y=10時(shí)，x=7或． .6分

（3）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，，頂點(diǎn)為（10，25），∴當(dāng)0≤x≤4時(shí)，0≤y≤16．當(dāng)4＜x≤10時(shí)，y=－2x+24，4≤y＜16．∴當(dāng)4≤y<16時(shí)，平移的距離不等，兩紙片重疊的面積y可能相等．當(dāng)0≤y＜4或y=16時(shí)，平移的距離不等，兩紙片重疊部分的面積也不可能相等． ..10分

考點(diǎn)：1.勾股定理；2.相似三角形的判定與性質(zhì)；3.分段函數(shù).