Question

矩形OABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6，0）、C（0，3），直線y=

3

4

x與BC邊相交于點(diǎn)D．
（1）若拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過D、A兩點(diǎn)，試確定此拋物線的表達(dá)式；
（2）若以點(diǎn)A為圓心的⊙A與直線OD相切，試求⊙A的半徑；
（3）設(shè)（1）中拋物線的對(duì)稱軸與直線OD交于點(diǎn)M，在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，以Q、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似？若存在，試求出符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再把A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=ax²+bx聯(lián)立求解即可；
（2）過A作AH⊥OD于H，求出AH的長即是⊙A的半徑；
（3）假設(shè)存在，當(dāng)OQ⊥QM時(shí)存在Q₁，當(dāng)OQ⊥OM時(shí)存在Q₂，通過計(jì)算驗(yàn)證判斷是否存在．

解答：解：（1）由

y=3 y= 3 4 x

得D點(diǎn)的坐標(biāo)為D（4，3）
拋物線y=ax²+bx經(jīng)過D（4，3）、A（6，0），可得y=-

3

8

x2+

9

4

x

（2）∵CD=4，OC=3，OD=

42+33

=5，sin∠CDO=

3

5

，
過A作AH⊥OD于H，
則AH=OAsin∠DOA=6×

3

5

=

18

5

=3.6
∴當(dāng)直線OD與⊙A相切時(shí)，r=3.6

（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q₁，則點(diǎn)Q₁符合條件
∵CB∥OA，
∴∠Q₁OM=∠ODC，
∴Rt△Q₁OM∽R(shí)t△CDO
∵對(duì)稱軸x=-

b

2a

=3，
∴Q₁點(diǎn)的坐標(biāo)為Q₁（3，0）．
又過O作OD的垂線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)Q₂，則點(diǎn)Q₂也符合條件
∵對(duì)稱軸平行于y軸，
∴∠Q₂MO=∠DOC，
∴Rt△Q₂MO∽R(shí)t△DOC
在Rt△Q₂Q₁O和Rt△DCO中，Q₁O=CO=3，
∠Q₂=∠ODC，
∴Rt△Q₂Q₁O≌Rt△DCO，
∴CD=Q₁Q₂=4，
∵Q₂位于第四象限，∴Q₂（3，-4）．
因此，符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)，分別是Q₁（3，0），Q₂（3，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性強(qiáng)，能力要求高．