Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線L₁的函數(shù)關(guān)系式為y=2x-1，直線L₂過(guò)原點(diǎn)且L₂與直線L₁交于點(diǎn)P（-2，a）．
（1）試求a的值；
（2）試問（-2，a）可以看作是怎樣的二元一次方程組的解？
（3）設(shè)直線L₁與直線y=x交于點(diǎn)A，你能求出△APO的面積嗎？試試看．
（4）在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△AOQ是等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)P（-2，a）在線L₁上，代入解析式，即可求得a的值；
（2）由直線L₂過(guò)原點(diǎn)且L₂與直線L₁交于點(diǎn)P（-2，a），利用待定系數(shù)法即可求得直線L₂的解析式，繼而可求得答案；
（3）首先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后由待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式，即可求得直線AB與y軸的交點(diǎn)，由S_△APO=S_△AOC+S_△POC，即可求得答案；
（4）首先利用勾股定理求得OA的長(zhǎng)，然后分別從OA=OQ，AQ=AO，OQ=OA去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P（-2，a）在線L₁上，
∴2×（-2）-1=a，
解得：a=-5；

（2）設(shè)直線L₂的解析式為：y=kx+b，
∵點(diǎn)P（-2，-5），點(diǎn)O（0，0），
∴

-2k+b=-5 b=0

，
解得：

k= 5 2 b=0

，
∴直線L₂的解析式為：y=

5

2

x，
∴（-2，a）可以看作二元一次方程組：

y=2x-1 y= 5 2 x

的解；

（3）∵直線L₁與直線y=x交于點(diǎn)A，
∴

y=2x-1 y=x

，
解得：

x=1 y=1

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（1，1），
設(shè)直線AB的解析式為：y=mx+n，交y軸于點(diǎn)C，
∴

m+n=1 -2m+n=-5

，
解得：

m=2 n=-1

，
∴直線AB的解析式為：y=2x-1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，-1），
∴S_△APO=S_△AOC+S_△POC=

1

2

×1×1+

1

2

×1×2=

3

2

；

（4）存在．
∵點(diǎn)A（1，1），
∴OA=

12+12

=

2

，
若OQ=AQ，則點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為：（1，0），
若OA=AQ，則點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)為：（2，0），
若OQ=OA，則點(diǎn)Q₃的坐標(biāo)為：（

2

，0），點(diǎn)Q₄的坐標(biāo)為：（-

2

，0），
綜上可得：Q₁（1，0），Q₂（2，0），Q₃（

2

，0），Q₄（-

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，兩直線的交點(diǎn)問題、二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．