Question

【題目】已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD(如圖所示)．

(1)在下圖中，用尺規(guī)作∠BAD的平分線AE交BC于點E，連接DE(保留作圖痕跡，不寫作法)，并證明四邊形ABED是菱形；

(2)若∠ABC＝60°，EC＝2BE.求證：ED⊥DC.

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

(1)、根據尺規(guī)作圖：角的平分線的基本作法，可得到∠BAD的平分線AE；利用菱形的判定定理，即可證得；(2)、根據直角三角形的性質定理，可得△EDC是直角三角形，即可得ED⊥DC．

(1)解：作圖如圖所示．在△ABE與△ADE中，∵

∴△ABE≌△ADE，∴∠AEB＝∠AED.∵AD∥BE，∴∠AEB＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AED，

∴AB∥DE，∴四邊形ABED是平行四邊形．∵AB＝AD，∴四邊形ABED為菱形；

(2)證明：取EC的中點F，連接DF.

∵四邊形ABED是菱形，∴EC＝2BE＝2DE＝2EF＝2CF，∠CED＝∠ABC＝60°，

∴△DEF是等邊三角形，∴DF＝EF＝CF，∠DFE＝60°，

∴∠CDF＋∠C＝∠DFE＝60°＝2∠C.即∠C＝30°，

∴∠EDC＝180°－∠CED－∠C＝90°，即ED⊥DC．