Question

20．已知直線l₁：y=-$\frac{1}{2}$x-1分別與x、y軸交于點(diǎn)A、B．將直線l₁平移后過點(diǎn)C（4，0）得到直線l₂，l₂交直線AD于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，且EA=EC．
（1）求直線l₂的解析式；
（2）若點(diǎn)P為x軸上任一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△DEP的周長(zhǎng)最小，若存在，求周長(zhǎng)的最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）已知M為第二象限內(nèi)直線l₂上任一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN平行于y軸，交直線l₁于點(diǎn)N，點(diǎn)H為直線AE上任一點(diǎn)．是否存在點(diǎn)M，使得△MNH是以H點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平移的性質(zhì)和點(diǎn)C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）先確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)E坐標(biāo)，即可確定出直線AE解析式，判斷出點(diǎn)B，D關(guān)于x軸對(duì)稱，連接BE和x軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，利用兩點(diǎn)間的距離即可得出周長(zhǎng)的最小值；
（3）設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)，進(jìn)而依次表示出點(diǎn)N，G，H的坐標(biāo)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出m的值即可．

解答 解：（1）∵直線l₁平移后過點(diǎn)C（4，0）得到直線l₂，
∴設(shè)直線l₂解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+b，
∵點(diǎn)C（4，0）在直線l₂上，
∴0=-$\frac{1}{2}$×4+b，
∴b=2，
∴直線l₂解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
（2）如圖，
∵直線l₁：y=-$\frac{1}{2}$x-1分別與x、y軸交于點(diǎn)A、B．
∴A（-2，0），B（0，-1），
∵C（4，0），
當(dāng)x=$\frac{-2+4}{2}$=1時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$×1+2=$\frac{3}{2}$，
∴E（1，$\frac{3}{2}$），
∵A（-2，0），
∴直線AE解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴D（0，1），
∴點(diǎn)B，D關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴連接BE與x軸的交點(diǎn)就是P，
∵B（-1，0），E（1，$\frac{3}{2}$），
∴直線BE的解析式為y=$\frac{5}{2}$x-1，
∴P（$\frac{2}{5}$，0），
∴△DEP的周長(zhǎng)最小值=DE+BE=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$+$\sqrt{4+\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$+$\frac{5}{2}$=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，
（3）存在，
理由：如圖1，過點(diǎn)H作HG⊥MN，
∴直線l₂解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴設(shè)M（m，-$\frac{1}{2}$m+2）（m＜0），
∵M(jìn)N平行于y軸，交直線l₁于點(diǎn)N，
∴N（m，-$\frac{1}{2}$m-1），
∴MN=-$\frac{1}{2}$m+2-（-$\frac{1}{2}$m-1）=3，G（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），
∵點(diǎn)H在直線AE上，
∴H（-m-1，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），
∴HG=|-m-1-m|=|-2m-1|，
∵△MNH是以H點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴HG=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{3}{2}$，
∴|-2m-1|=$\frac{3}{2}$，
∴m=$\frac{1}{4}$（舍）或m=-$\frac{5}{4}$，
∴M（-$\frac{5}{4}$，$\frac{13}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平移的性質(zhì)，最值的確定，等腰直角三角形的性質(zhì)，用待定系數(shù)法確定直線解析式是解本題的關(guān)鍵，是一道中等難點(diǎn)的中考�？碱}．