Question

如圖，已知直線y=-x+2與拋物線y=a（x+2）²相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上，M為拋物線的頂點(diǎn)。

（1）請直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；
（2）若P為線段AB上一個(gè)動點(diǎn)（A、B兩端點(diǎn)除外），連接PM，設(shè)線段PM的長為1，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，請求出l²與x之間的函數(shù)關(guān)系，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在點(diǎn)P，使以A、M、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）A的坐標(biāo)是（0，2） 拋物線的解析式是y=（x+1）2； （2）如圖，P為線段AB上任意一點(diǎn)，連接PM，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D， 設(shè)P的坐標(biāo)是（x，-x+2），則在Rt△PDM中， PM2=DM2+PD2， 即l2=（-2-x）2+（-x+2）2=x2+2x+8， 自變量x的取值范圍是：-5＜x＜0； （3）存在滿足條件的點(diǎn)P，連接AM， 由題意得，AM=， ①當(dāng)PM=PA時(shí)，x2+2x+8=x2+（-x+2-2）2， 解得：x=-4，此時(shí)y=-×（-4）+2=4， ∴點(diǎn)P1（-4，4）； ②當(dāng)PM=AM時(shí)，x2+2x+8=（2）2， 解得：x1=-，x2=0（舍去），此時(shí)y=-×（-）+2=， ∴點(diǎn)P2（-，）； ③當(dāng)PA=AM時(shí)，x2+（-x+2-2）2=（2）2， 解得：x1=-，x2=（舍去），此時(shí)y=-×（-）+2=， ∴點(diǎn)P3（-，）， 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)為P1（-4，4）、P2（-，）、P3（-， ）。