Question

已知一次函數(shù)y=

3

x-2的圖象經(jīng)過（a，b），（a+1，b+k）兩點(diǎn)，并且與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于第一象限內(nèi)一點(diǎn)A．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）若射線OA與x軸的夾角為30°請問：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形？若存在，直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵一次函數(shù)y=

3

x-2的圖象經(jīng)過（a，b），（a+1，b+k）兩點(diǎn)，
∴

b= 3 a-2① b+k= 3 (a+1)-2②

，
②-①得：k=

3

，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

3

x

；

（2）聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，得：

y= 3 x-2 y= 3 x

，
解得：

x= 3 y=1

或

x=- 3 3 y=-3

，
∵點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

3

，1）；

（3）存在．
過點(diǎn)A作AB⊥x軸于B，
∵點(diǎn)A（

3

，1），
∴OA=

AB2+OB2

=2，
如圖1：當(dāng)OP=OA時(shí)，OP=2，
則P₁（-2，0），P₂（2，0）；
當(dāng)OA=PA時(shí)，OB=BP=

3

，
∴OP=OB+BP=2

3

，
∴P₃（2

3

，0）；
如圖2：取OA的中點(diǎn)C，過點(diǎn)C作PC⊥OA，交x軸于P，
則OP=AP，
∵OA=2，
∴OC=

1

2

OA=1，
∵∠AOP=30°，
∴OP=

OC

cos∠AOP

=

1

3 2

=

2 3

3

，
∴P₄（

2 3

3

，0）．
綜上，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₁（-2，0），P₂（2，0），P₃（2

3

，0），P₄（

2 3

3

，0）．