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        1. 【題目】如圖,在ABC中,點O是邊AC上一個動點,過O作直線MNBC,設(shè)MN交∠ACB的平分線于點E,交∠ACB的外角平分線于點F.

          (1)探究線段OEOF的數(shù)量關(guān)系并加以證明;

          (2)當(dāng)點O運動到何處,且ABC滿足什么條件時,四邊形AECF是正方形?并說明理由;

          (3)當(dāng)點O在邊AC上運動時,四邊形BCFE可能是菱形嗎?說明理由.

          【答案】(1)OE=OF.證明見解析;(2)四邊形AECF是正方形;理由見解析;(3)四邊形BCFE不可能為菱形.理由見解析.

          【解析】

          試題(1)由直線MNBC,MN交∠BCA的平分線于點E,交∠BCA的外角平分線于點F,易證得OECOFC是等腰三角形,則可證得OE=OF=OC;

          (2)正方形的判定問題,AECF若是正方形,則必有對角線OA=OC,所以OAC的中點,同樣在ABC中,當(dāng)∠ACB=90°時,可滿足其為正方形;

          (3)菱形的判定問題,若使菱形,則必有四條邊相等,對角線互相垂直.

          試題解析:(1)OE=OF.理由如下:

          CE是∠ACB的角平分線,

          ∴∠ACE=BCE,

          又∵MNBC,

          ∴∠NEC=ECB,

          ∴∠NEC=ACE,

          OE=OC,

          OF是∠BCA的外角平分線,

          ∴∠OCF=FCD,

          又∵MNBC,

          ∴∠OFC=ECD,

          ∴∠OFC=COF,

          OF=OC,

          OE=OF;

          (2)當(dāng)點O運動到AC的中點,且ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時,四邊形AECF是正方形.理由如下:

          ∵當(dāng)點O運動到AC的中點時,AO=CO,

          又∵EO=FO,

          ∴四邊形AECF是平行四邊形,

          FO=CO,

          AO=CO=EO=FO,

          AO+CO=EO+FO,即AC=EF,

          ∴四邊形AECF是矩形.

          已知MNBC,當(dāng)∠ACB=90°,則

          AOF=COE=COF=AOE=90°,

          ACEF,

          ∴四邊形AECF是正方形;

          (3)不可能.理由如下:如圖,

          CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,

          ∴∠ECF=ACB+ACD=ACB+ACD)=90°,

          若四邊形BCFE是菱形,則BFEC,

          但在GFC中,不可能存在兩個角為90°,所以不存在其為菱形.

          故答案為不可能.

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