Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，DF⊥AD，交BC于點(diǎn)F．若線段DF上存在點(diǎn)E，使∠EBC=∠EDC，且∠ECB=45°．
（1）猜想：BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若DE=3，DF：FC=4，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠ECB=45°得到EF=FC，證明△BEF≌△DCF，即可得到BE=CD；根據(jù)“∠EBC=∠EDC”得∠FBE+∠BCD=90°，所以BF⊥CD；
（2）根據(jù)“DF：FC=4”，設(shè)DF=4x，則FC=EF=x，再根據(jù)DE=3，求出DF的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求解即可．

解答：解：（1）BE=CD，BE⊥CD．
∵∠ECB=45°，
∴EF=FC，
在△BEF和△DCF中，

∠EBC=∠EDC ∠BFE=∠CFD EF=FC

∴△BEF≌△DCF（AAS），
延長(zhǎng)BE交CD于G，
∵DF⊥AD，∴∠EDC+∠DCF=90°，
∵∠EBC=∠EDC，
∴∠EBC+∠DCF=90°，
∴BE⊥CD；

（2）根據(jù)題意，設(shè)DF=4x，則FC=EF=x，
∵DE=3，∴4x-x=3，
解得x=1，
∴DF=4，F(xiàn)C=1，
根據(jù)勾股定理，
CD=

DF2+FC2

=

42+12

=

17

．

點(diǎn)評(píng)：（1）利用三角形全等的判定和等邊對(duì)等角的性質(zhì)；
（2）主要利用勾股定理求解．熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．