Question

如圖，∠AOB=60°，P、Q兩點分別由O點沿OA、OB方向同時移動，移動速度分別為a米/秒和b米/秒，過P、Q分別作PM⊥OB于M，QN⊥OA于N，求：
（1）△POM與△QON的周長之比與面積之比；
（2）若在移動過程中，P與N重合時，求

a

b

的值．

Answer 1

分析：（1）欲求△POM與△QON的周長之比與面積之比，可以證明△PMO∽△QNO得出；
（2）由于∠AOB=60°，通過三角函數(shù)的知識能夠求出

a

b

的值．

解答：解：（1）設(shè)運動了t秒，則OP=at，OQ=bt
∵PM⊥OB，QN⊥OA
∴∠PMO=∠QNO=90°，∠O=∠O
∴△PMO∽△QNO（3分）
∴

C△POM

C△QNO

=

PO

QO

=

at

bt

=

a

b

∴

S△POM

S△QNO

=(

PO

QO

)2=(

a

b

)2=

a2

b2

（6分）

（2）∵∠AOB=60°
∴OM=

1

2

OP=

1

2

at（9分）
由（1）得

PO

QO

=

OM

PO

即

a

b

=

1 2 a

a

=

1

2

（12分）

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，及三角函數(shù)的知識．相似三角形的周長比等于相似比，面積比是相似比的平方．