Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（0，4），拋物線經(jīng)過B點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線上．

【小題1】求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
【小題2】若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說明理由
【小題3】在（2）的條件下，連結(jié)BD，已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBD的周長最�。�請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【小題4】在（2）、（3）的條件下，若點(diǎn)M是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O、B不重合），過點(diǎn)M作MN∥BD交x軸于點(diǎn)N，連結(jié)PM、PN，設(shè)OM的長為t，△PMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【小題1】∵拋物線經(jīng)過B（0，4），∴，------1分

∵頂點(diǎn)在直線上，∴，，
∴所求函數(shù)關(guān)系式為： --------------------------------------2分
【小題2】在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴，
∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0）．---------------------------------3分 
當(dāng)時(shí)，，-----------------------------------------4分
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在所求拋物線上．--------------------------------------------------5分
【小題3】設(shè)CD與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)， --------------------------6分
設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，
則，解得：，
∴，---------------------7分
當(dāng)時(shí)，，∴P（，），-------------------8分
【小題4】∵M(jìn)N∥BD，∴△OMN∽△OBD，
∴，，，---------------9分
設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F，則，
∵，，
∴（-------------10分
由，
∴當(dāng)時(shí)，S取得最大值為，-----------------11分
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）．解析:
此題考核二次函數(shù)的綜合應(yīng)用
（1）  通過B（0，4），頂點(diǎn)在直線上，求出函數(shù)關(guān)系式
（2）  通過勾股定理和菱形性質(zhì)求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)關(guān)系式求證
（3）  通過C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo), 求出直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)
通過△OMN∽△OBD，求得，再通過面積求得S與t的函數(shù)關(guān)系式，從而求得最大值和M點(diǎn)的坐標(biāo)