Question

已知一次函數(shù)y=kx+b與雙曲線y=

4

x

在第一象限交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為4
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象指出不等式kx+b＞

4

x

的解集；
（3）點(diǎn)P是x軸正半軸上一點(diǎn)，過P點(diǎn)作x軸的垂線分別交直線和雙曲線于M、N，△OMN的面積為1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）反比例函數(shù)的解析式已知，把A、B坐標(biāo)代入就能求得完整的坐標(biāo)，代入一次函數(shù)解析式即可求得k，b的值；
（2）實際是求一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值時，x的取值．應(yīng)從兩個函數(shù)的交點(diǎn)入手觀察；
（3）應(yīng)從兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)入手，分三種情況表示出△OMN的面積進(jìn)行探討．

解答：解：（1）將A點(diǎn)橫坐標(biāo)為1、B點(diǎn)橫坐標(biāo)為4分別代入雙曲線y=

4

x

中，
可得A（1，4），B（4，1）；
再將A、B兩點(diǎn)分別代入一次函數(shù)y=kx+b中，
解得：k=-1，b=5；
∴一次函數(shù)的解析式為：y=-x+5；

（2）從兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)看，x的取值在兩個交點(diǎn)A、B之間時，一次函數(shù)的函數(shù)值才大于反比例函數(shù)的函數(shù)值，
∴1＜x＜4與x＜0；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），分三種情況：
①0＜t＜1時，S=

1

2

t[

4

t

-（-t+5）]=

1

2

t²-

5

2

t+2，
由

1

2

t²-

5

2

t+2=1，解得t=

5± 21

2

（取加號時舍去）；
②1≤t＜4時，S=

1

2

t[（-t+5）-

4

t

]=-

1

2

t²+

5

2

t-2，
由-

1

2

t²+

5

2

t-2=1，解得t=2或3；
③t≥4時，S=

1

2

t[

4

t

-（-t+5）]=

1

2

t²-

5

2

t+2，
由

1

2

t²-

5

2

t+2=1，解得t=

5± 21

2

（取減號時舍去）；
綜上可知，所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5- 21

2

，0）或（2，0）或（3，0）或（

5+ 21

2

，0）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，求一次函數(shù)的解析式需知道它上面的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)；比較兩個函數(shù)值的大小，應(yīng)從交點(diǎn)坐標(biāo)的入手觀察，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合與分類討論思想是解題的關(guān)鍵．