Question

如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)）的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

（m為常數(shù)，m≠0）的圖象相交于點(diǎn) A（1，3）、B（n，-1）兩點(diǎn)．
（1）求上述兩個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）如果M為x軸正半軸上一點(diǎn)，N為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，以點(diǎn)A，B，N，M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求直線MN的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）將A（1，3）代入y=

m

x

中，求m的值，再將B（n，-1）所求反比例函數(shù)關(guān)系式求n的值，把A、B兩點(diǎn)代入一次函數(shù)y=kx+b中，解方程組求k、b的值，確定兩個(gè)函數(shù)解析式；
（2）運(yùn)用平移法：根據(jù)A點(diǎn)縱坐標(biāo)，B點(diǎn)橫坐標(biāo)可知：線段NM可看作由線段AB向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到的，根據(jù)平移與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，分別求A、B平移后對應(yīng)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，求直線MN的解析式．

解答：解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，3）在反比例數(shù)y=

m

x

的圖象上，
故3=

m

1

，即m=3，
所以該反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，-1），
因?yàn)辄c(diǎn)A、B在一次函數(shù)y=nx+m的圖象上，
故

n+m=3 -3n+m=-1

，解得

n=1 m=2

所以該一次函數(shù)的解析式為y=x+2；

（2）方法一
∵M(jìn)點(diǎn)在x軸的正半軸上，N點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，四邊形ANMB為平行四邊形，
∴線段NM可看作由線段AB向右平移3個(gè)單位，
再向下平移3個(gè)單位得到的，
（也可看作向下平移3個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位得到的）．
由A（1，3），得M點(diǎn)坐標(biāo)為（1+3，3-3），
即M（4，0）
由B（-3，-1），得N點(diǎn)坐標(biāo)為（-3+3，-1-3），
即N₁（0，-4）
設(shè)直線M₁N₁的函數(shù)解析式為y=k₁x-4，
把x=4，y=0代入，解得k₁=1．
∴直線MN的函數(shù)解析式為y=x-4；
方法二
設(shè)MN的函數(shù)解析式是y=k₁x+b₁
∵四邊形ABMN為平行四邊形，故MN∥AB，所以k₁=1，
分別過點(diǎn)A、B作AP∥y軸，CP∥x軸交于點(diǎn)P，易證△APB≌△MON，
ON=PB=|-3|+1=4，又因N在y軸的負(fù)半軸上，故b₁=-4，
所以直線MN的函數(shù)解析式為y=x-4．

點(diǎn)評：此題綜合考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式求法，平移及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對各個(gè)知識點(diǎn)的靈活應(yīng)用．