Question

（2012•紹興）如圖，AD為⊙O的直徑，作⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，甲、乙兩人的作法分別是：
甲：1、作OD的中垂線，交⊙O于B，C兩點(diǎn)，
2、連接AB，AC，△ABC即為所求的三角形      
乙：1、以D為圓心，OD長為半徑作圓弧，交⊙O于B，C兩點(diǎn)．
2、連接AB，BC，CA．△ABC即為所求的三角形．
對于甲、乙兩人的作法，可判斷（　�。�

A．甲、乙均正確

B．甲、乙均錯(cuò)誤

C．甲正確、乙錯(cuò)誤

D．甲錯(cuò)誤，乙正確

Answer 1

分析：由甲的思路畫出相應(yīng)的圖形，連接OB，由BC為OD的垂直平分線，得到OE=DE，且BC與OD垂直，可得出OE為OD的一半，即為OB的一半，在直角三角形BOE中，根據(jù)一直角邊等于斜邊的一半可得出此直角邊所對的角為30°，得到∠OBE為30°，利用直角三角形的兩銳角互余得到∠BOE為60°，再由∠BOE為三角形AOB的外角，且OA=OB，利用等邊對等角及外角性質(zhì)得到∠ABO也為30°，可得出∠ABC為60°，同理得到∠ACB也為60°，利用三角形的內(nèi)角和定理得到∠BAC為60°，即三角形ABC三內(nèi)角相等，進(jìn)而確定三角形ABC為等邊三角形；
由乙的思路畫出相應(yīng)的圖形，連接OB，BD，由BD=OD，且OB=OD，等量代換可得出三角形OBD三邊相等，即為等邊三角形，的長∠BOE=∠DBO=60°，由BC垂直平分OD，根據(jù)三線合一得到BE為角平分線，可得出∠OBE為30°，又∠BOE為三角形ABO的外角，且OA=OB，利用等邊對等角及外角的性質(zhì)得到∠ABO也為30°，可得出∠ABC為60°，同理得到∠ACB也為60°，利用三角形的內(nèi)角和定理得到∠BAC為60°，即三角形ABC三內(nèi)角相等，進(jìn)而確定三角形ABC為等邊三角形，進(jìn)而得出兩人的作法都正確．

解答：解：根據(jù)甲的思路，作出圖形如下：

連接OB，
∵BC垂直平分OD，
∴E為OD的中點(diǎn)，且OD⊥BC，
∴OE=DE=

1

2

OD，又OB=OD，
在Rt△OBE中，OE=

1

2

OB，
∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°，
∴∠BOE=60°，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，
又∠BOE為△AOB的外角，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°，
同理∠C=60°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠BAC=∠C，
∴△ABC為等邊三角形，
故甲作法正確；
根據(jù)乙的思路，作圖如下：

連接OB，BD，
∵OD=BD，OD=OB，
∴OD=BD=OB，
∴△BOD為等邊三角形，
∴∠OBD=∠BOD=60°，
又BC垂直平分OD，∴OM=DM，
∴BM為∠OBD的平分線，
∴∠OBM=∠DBM=30°，
又OA=OB，且∠BOD為△AOB的外角，
∴∠BAO=∠ABO=30°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°，
同理∠ACB=60°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，
∴△ABC為等邊三角形，
故乙作法正確，
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定，含30°直角三角形的判定，三角形的外角性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理及判定是解本題的關(guān)鍵．