Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的弧交CA于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點(diǎn)E．
（1）求AE的長(zhǎng)度；
（2）分別以點(diǎn)A、E為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F（F與C在AB兩側(cè)），連接AF、EF，設(shè)EF交弧DE所在的圓于點(diǎn)G，連接AG，試猜想∠EAG的大小，并說明理由．

Answer 1

（1）       （2）36°，理由見解析

試題分析：（1）在Rt△ABC中，由AB=1，BC=，
得AC==，
∵以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的弧交CA于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點(diǎn)E
∴BC=CD，AE=AD，
∴AE=AC﹣CD=；
（2）∠EAG=36°，理由如下：
∵FA=FE=AB=1，AE=，
∴=，
∴△FAE是黃金三角形，
∴∠F=36°，∠AEF=72°，
∵AE=AG，
∴∠EAG=∠F=36°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理在直角三角形中的應(yīng)用，考查了相似三角形的證明和性質(zhì)，本題中求證三角形相似是解題的關(guān)鍵．