Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點為M（1，4），且與直線y=-ax+1相交于A，P兩點，與y軸交于點Q，點A在x軸的負半軸上，且OA的長為2+

1

a

．
（1）求直線和拋物線的解析式；
（2）若點C為拋物線上一點，以C為圓心的圓與直線y=-ax+1交于G，H，試問是否存在點C，使OG=OH？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由點A在x軸的負半軸上，且OA的長為2+

1

a

，即可得點A的坐標為：（-2-

1

a

，0），代入y=-ax+1，即可求得a的值，則可求得直線的解析式，又由拋物線y=ax²+bx+c的頂點為M（1，4），且與直線y=-ax+1相交于A，P兩點，利用待定系數法即可求得此拋物線的解析式；
（2）若OM=ON，又CM=CN，則直線OC為線段MN的中垂線，即直線OC⊥直線l，可求得直線OC的解析式，由-x=-x²+2x+3，即可求得x的值，則可得點C的坐標．

解答：解：（1）根據題意得：點A的坐標為：（-2-

1

a

，0），
代入y=-ax+1得：-a×（-2-

1

a

）+1=0，
解得：a=-1            …（2分）
∴直線解析式為y=x+1，
∴點A為（-1，0），
∵頂點為M（1，4），
∴設拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+4，
∴4a+4=0，
解得：a=-1，
∴拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；                   …（5分）

（2）存在．…（7分）
若OM=ON，又CM=CN，則直線OC為線段MN的中垂線，
即直線OC⊥直線l，
可求得直線OC的解析式為y=-x，…（9分）
令-x=-x²+2x+3，解得x=

3± 21

2

，
可得 C₁（

3+ 21

2

，-

3+ 21

2

），C₂（

3- 21

2

，-

3- 21

2

）．   …（12分）

點評：此題考查了點與函數的關系，待定系數法求函數解析式以及一次函數與二次函數的交點問題．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用．