Question

如圖，已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c（c＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB=OC=3，頂點(diǎn)為M．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P為線段BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PQ，垂足為Q，若OQ=m，四邊形ACPQ的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫出m的取值范圍；
（3）探索：線段BM上是否存在點(diǎn)N，使△NMC為等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴

0=-9+3b+c 3=c

，
解得

b=2 c=3

1分
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，M（1，4）
設(shè)直線MB的解析式為y=kx+n，
則有

4=k+n 0=3k+n

解得

k=-2 n=6

∴直線MB的解析式為y=-2x+6
∵PQ⊥x軸，OQ=m，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-2m+6）
S_{四邊形ACPQ}=S_△AOC+S_梯形PQOC=

1

2

AO•CO+

1

2

（PQ+CO）•OQ（1≤m≤3）
=

1

2

×1×3+

1

2

（-2m+6+3）•m=-m²+

9

2

m+

3

2

；

（3）線段BM上存在點(diǎn)N（

7

5

，

16

5

），（2，2），（1+

10

5

，4-

2 10

5

）使△NMC為等腰三角形
CM=

(1-0)2+(4-3)2

=

2

，CN=

x2+(-2x+3)2

，MN=

(x-1)2+(-2x+2)2

①當(dāng)CM=NC時(shí)，

x2+(-2x+3)2

=

2

，
解得x₁=

7

5

，x₂=1（舍去）
此時(shí)N（

7

5

，

16

5

）
②當(dāng)CM=MN時(shí)，

(x-1)2+(-2x+2)2

=

2

，
解得x₁=1+

10

5

，x₂=1-

10

5

（舍去），
此時(shí)N（1+

10

5

，4-

2 10

5

）
③當(dāng)CN=MN時(shí)，

x2+(-2x+3)2

=

(x-1)2+(-2x+2)2

解得x=2，此時(shí)N（2，2）．