Question

已知矩形ABCD中，AB=4，對(duì)角線BD=2AB，且BE平分∠ABD，點(diǎn)P從點(diǎn)D以每秒2個(gè)單位沿DB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B以每秒1個(gè)單位沿BA方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△BPQ的面積為S．
（1）若t=2時(shí)，求證：△DBA∽△PBQ；
（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△BQM能否成為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=2時(shí)，根據(jù)P，Q的速度，我們可得出BP=2，BQ=1那么BP：BQ=2：1，而一直了BD=2AB，因此BP，BQ與BD，BA對(duì)應(yīng)相等，△BPQ與△BDA又共用了這兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角，因此兩三角形相似；
（2）求三角形的面積就要知道三角形的底邊和高的長(zhǎng)，根據(jù)P，Q的速度，我們可以用t表示出BP，BQ的長(zhǎng)，如果過(guò)Q作BP邊的高，那么根據(jù)BQ和∠ABD的正弦值即可得出BP邊上的高是多少，然后可根據(jù)三角形的面積公式得出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）要按底角的不同來(lái)分類(lèi)討論：
①當(dāng)∠QBM，∠BMQ為等腰三角形的底角時(shí)，根據(jù)AE平分∠ABD，那么這兩個(gè)角就都應(yīng)該是30°，此時(shí)△QBM的外角∠AQM=60°，就與∠ABD相等，顯然這種情況是不成立的；
②當(dāng)∠QBM，∠BQM為等腰三角形的底角時(shí)，由于這兩個(gè)角都是30°，那么∠QPB就是個(gè)直角，那么我們可在直角△QPB中，我們可根據(jù)∠ABD的余弦函數(shù)得出BQ，BP的比例關(guān)系，然后我們可用t表示出BQ，BP即可得出t的值；
③當(dāng)∠BQM，∠BMQ為等腰三角形的底角時(shí)，那么這兩個(gè)角就都應(yīng)該是75°，我們可通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)求t的值，過(guò)Q作QF垂直BD于F，那么我們可將三角形BQP分成兩個(gè)含特殊角的直角三角形，一個(gè)是含30°，60°角的直角三角形，一個(gè)是等腰直角三角形．那么我們可根據(jù)這些特殊角得出BQ，QF，BF，PF之間的關(guān)系，然后分別用t表示出來(lái)，根據(jù)BP=BF+PF，將等值的線段替換后即可得出t的值．

解答：解：（1）∵t=2，
∴BQ=2，PB=4，
∴

BQ

BA

=

BP

BD

，∠PBQ=∠PBQ，
∴△PBQ∽△DBA；

（2）過(guò)點(diǎn)Q作△PBQ的高h(yuǎn)，
則S_△PBQ=

1

2

PB•h=-

3

2

t²+2

3

t=-

3

2

（t-2）²+2

3

，
∴當(dāng)t=2時(shí)，Smax=2

3

；

（3）分三種情況討論：
①當(dāng)∠QBM=∠BMQ=30°時(shí)，有：
∠AQM=60°=∠ABD，
∴PQ∥BD，
∴與題意矛盾，不存在；
②當(dāng)∠QBM=∠BQM=30°時(shí)，如圖，則
BQ=2PB即2（8-2t）=t，得t=

16

5

≤4；
③當(dāng)∠BQM=∠BMQ=75°時(shí)，如圖，
作QF⊥BP，則：PB=BF+PF=BF+QF=

1

2

t+

3

2

t=8-2t，
得：t=

16

3 +5

=

40-8 3

11

≤4，
∴當(dāng)t=

16

5

或t=

40-8 3

11

時(shí)，△BQM成為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)較多，要注意對(duì)（3）中底角不同時(shí)等腰三角形的不同來(lái)分情況的討論．