Question

已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S_△APD＋S_△APB＝．其中正確結(jié)論的序號是

A．①③④

B．①②③

C．②③④

D．①②④

Answer 1

A

試題分析：①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再結(jié)合已知條件利用SAS可證兩三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)，易得∠BEP=90°，即可證；②過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，結(jié)合△AEP是等腰直角三角形，可證△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；④連接BD，求出△ABD的面積，然后減去△BDP的面積即可．
①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∴△APD≌△AEB；
故此選項成立；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED；
故此選項成立；
②過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，

∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵
∴BF=EF=
故此選項不正確；
④連接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴
又∵PB＝
∴
∵△APD≌△AEB
∴PD=BE=2

故此選項成立；
故選A.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作出選擇、填空的最后一題出現(xiàn).