Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D為圓上兩點，且弧CB=弧CD，CF⊥AB于點F，CE⊥AD的延長線于點E．
（1）試說明：DE=BF；
（2）若∠DAB=60°，AB=6，求△ACD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據已知證明△CED≌△CFB，根據全等三角形的性質就可以題目的結論；
（2）由于AB是直徑，可以得到∠ACB=90°，而∠DAB=60°，AB=6，解直角三角形ACB可以求出AC，BC，接著求出CF，BF，根據已知條件容易證明△CAE≌△CAF，所以S_△ACD=S_△ACE-S_△CDE=S_△ACF-S_△CFB，根據這個等式就可以求出△ACD的面積．

解答：（1）證明：∵弧CB=弧CD
∴CB=CD，∠CAE=∠CAB（1分）
又∵CF⊥AB，CE⊥AD
∴CE=CF（2分）
∴Rt△CED≌Rt△CFB（3分）
∴DE=BF；（4分）

（2）解：∵CE=CF，∠CAE=∠CAB
∴△CAE≌△CAF
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
∵∠DAB=60°
∴∠CAB=30°，AB=6
∴BC=3
∵CF⊥AB于點F
∴∠FCB=30°
∴CF=

3

2

3

，BF=

3

2

∴S_△ACD=S_△ACE-S_△CDE=S_△ACF-S_△CFB=

1

2

•（AF-BF）•CF=

1

2

（AB-2BF）•CF=

9

4

3

．（8分）

點評：此題把角平分線，全等三角形放在圓的背景中，利用圓的有關性質和角平分線的性質來證明全等三角形，然后利用全等三角形的性質解決題目的問題．