Question

【題目】（2014湖南懷化）兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME、MF位置如圖所示，其中ME是東西方向的公路．現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離相等，到兩條公路ME、MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部．

（1）那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點(diǎn)C（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）；

（2）設(shè)AB的垂直平分線交ME于點(diǎn)N，且km，在M處測得點(diǎn)C位于點(diǎn)M的北偏東60°方向，在N處測得點(diǎn)C位于點(diǎn)N的北偏西45°方向，求點(diǎn)C到公路ME的距離．

Answer 1

【答案】（1）答圖如圖見解析；（2）點(diǎn)C到公路ME的距離為2km．

【解析】

（1）到城鎮(zhèn)A、B距離相等的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的點(diǎn)在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)C．

（2）作CD⊥MN于點(diǎn)D，由題意得：∠CMN＝30°，∠CND＝45°，分別在Rt△CMD中和Rt△CND中，用CD表示出MD和ND的長，從而求得CD的長即可．

（1）答圖如圖：

（2）作CD⊥MN于點(diǎn)D，

由題意得：∠CMN＝30°，∠CND＝45°，

∵在Rt△CMD中，＝tan∠CMN，

∴MD＝＝；

∵在Rt△CND中，＝tan∠CNM，

∴ND＝＝CD；

∵MN＝2（+1）km，

∴MN＝MD+DN＝CD+CD＝2（+1）km，

解得：CD＝2km．

故點(diǎn)C到公路ME的距離為2km．