Question

已知：在?ABCD中，∠C=120°，將三角板的60°角的頂點重合于點A，角的兩邊分別與BC、CD相交于點E、F．
（1）如圖①，當AF⊥CD時，求證：

AB

AD

=

AE

AF

；
（2）將三角板從備用圖虛線位置開始繞著A點旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)過程中的一種圖形，并探究圖形中（1）的結論是否依然成立，說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知及平行四邊形的性質(zhì)可求∠B=∠D=60°，又∠BAE=∠DAF=30°，可證明△ABE∽△ADF，所以

AB

AD

=

AE

AF

．（2）仿照（1）作AE'⊥BC，AF'⊥CD，由于∠E′AE=∠F′AF=旋轉(zhuǎn)角α，同樣可證△AE′E∽△AF′F，得出比例式．

解答：（1）證明：∵AF⊥CD，∠EAF=60°，∠C=120°，
∴∠B=∠D=60°，∠BAE=∠DAF=30°．
∴△ABE∽△ADF．
∴

AB

AD

=

AE

AF

．


（2）解：成立
理由：由（1）可知，∠AE′E=∠AF′F=90°，∠E′AE=∠F′AF=旋轉(zhuǎn)角α，
∴△AE′E∽△AF′F．
∴

AE′

AF′

=

AE

AF

．
∵

AE′

AF′

=

AB

AD

，
∴

AB

AD

=

AE

AF

．

點評：主要考查了平行四邊形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，要會利用三角形相似的性質(zhì)來求比例線段．