Question

如圖，已知直線l：y=-2x+12交x軸于點A，交y軸于點B，點C在線段OB上運動（不與O、B重合），連接AC，作CD⊥AC，交線段AB于點D．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）當點D的縱坐標為8時，求點C的坐標；
（3）過點B作直線BP⊥y軸，交CD的延長線于點P，設OC=m，BP=n，試求n與m的函數(shù)關系式，并直接寫出m、n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象與坐標軸交點坐標求法得出A、B兩點的坐標；
（2）根據(jù)點D的縱坐標為8，求出其橫坐標，進而利用相似求出C點坐標；
（3）利用相似三角形的性質與判定求出即可．

解答：解：（1）∵y=-2x+12交x軸于點A，交y軸于點B，
∴y=0時，x=6，∴點A坐標為：（6，0）；
x=0時，y=12，∴點B坐標為：（0，12）；

（2）過點D作DN⊥BO，
∵點D的縱坐標為8，
∴點D的橫坐標為：8=-2x+12，
解得：x=2，
∴點D的坐標為：（2，8）；
設CO=x，
∴CN=8-x，AO=6，DN=2，
∵CD⊥AC，
∴∠NCD+∠OCA=90°，
∵∠CAO+∠OCA=90°，
∴∠CAO=∠NCD，
∵∠COA=∠DNC=90°，
∴△COA∽△DNC，
∴

DN

CO

=

NC

AO

，
∴

2

x

=

8-x

6

，
解得：x₁=2，x₂=6，
∴點C的坐標為：（0，2），（0，6）；

（3）過點B作直線BP⊥y軸，交CD的延長線于點P，
∵∠NCD=∠CAO，
∠COA=∠CBP，
∴△COA∽△PBC，
∴

PB

BC

=

CO

AO

，
∵OC=m，BP=n，
則BC=12-m，CO=m，
∴

n

12-m

=

m

6

，
∴n=-

m2

6

+2m，（0＜n≤6，0＜m＜12）．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及一次函數(shù)與坐標軸交點求法，根據(jù)已知得出△COA∽△PBC和△COA∽△DNC是解決問題的很關鍵．