Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．

（1）求A、B、C的坐標；
（2）點M為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N．若點P在點Q左邊，當矩形PMNQ的周長最大時，求△AEM的面積；
（3）在（2）的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ．過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G（點G在點F的上方）．若FG=2 DQ，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3），

令y=0，則0=﹣x2﹣2x+3，解得x=﹣3或x=1，

∴A（﹣3，0），B（1，0）

（2）

解：方法一：由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知，對稱軸為x=﹣1，

設(shè)M點的橫坐標為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）=（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，

∴當m=﹣2時矩形的周長最大．

∵A（﹣3，0），C（0，3），設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，

解得k=1，b=3，

∴解析式y(tǒng)=x+3，當x=﹣2時，則E（﹣2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S= AMEM=

方法二：

設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（﹣2﹣t，﹣t2﹣2t+3），

∴矩形PQMN周長為：2PQ+2PM，

∴2PQ+2PM=2（﹣2﹣t﹣t）+2（﹣t2﹣2t+3），

∴2PQ+2PM=﹣2t2﹣8t+2，

∴當t=﹣2時，周長最大，

∴P（﹣2，3），

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴l(xiāng)AC：y=x+3，

∵點E在直線AC上，且EX=PX，

把x=﹣2代入，

∴E（﹣2，1），

∴S△AEM= AM×EM= ×1×1=

（3）

解：方法一：∵M點的橫坐標為﹣2，拋物線的對稱軸為x=﹣1，

∴N應(yīng)與原點重合，Q點與C點重合，

∴DQ=DC，

把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，

∴D（﹣1，4）

∴DQ=DC= ，

∵FG=2 DQ，

∴FG=4，

設(shè)F（n，﹣n2﹣2n+3），

則G（n，n+3），

∵點G在點F的上方，

∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）=4，

解得：n=﹣4或n=1．

∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）

方法二：

∵D為拋物線頂點，∴D（﹣1，4），Q（0，3），

∴DQ= ，

∵FG=2 DQ=2 × =4，

∴t2+3t﹣4=0，

∴t1=﹣4，t2=1，

∴F1（﹣4，﹣5），F(xiàn)2（1，0）

【解析】方法一：（1）通過解析式即可得出C點坐標，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標．（2）設(shè)M點橫坐標為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周長d=﹣2m2﹣8m+2，將﹣2m2﹣8m+2配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形的面積．（3）設(shè)F（n，﹣n2﹣2n+3），根據(jù)已知若FG=2 DQ，即可求得．
方法二：（1）略．（2）求出P，Q的參數(shù)坐標，并得出周長的函數(shù)表達式，求出P點，進而求出E點坐標，并求出△AEM的面積．（3）求出D點坐標，并求出DQ長度；再求出F，G的參數(shù)坐標，并得到FG的函數(shù)表達式，利用FG=DQ，求點F的坐標．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�