Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接BD．

（1）求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若BD＝3，AD＝4，則DE＝ ．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，如圖，先證明OD∥AE，再利用DE⊥AE得到OD⊥DE，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得到結(jié)論；

（2）證明△ABD∽△ADE，通過(guò)線(xiàn)段比例關(guān)系求出DE的長(zhǎng).

（1）證明：連接OD

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD＝∠DAC

∵OA＝OD

∴∠BAD＝∠ODA

∴∠ODA＝∠DAC

∴OD∥AE

∴∠ODE＋∠E＝180°

∵DE⊥AE

∴∠E＝90°

∴∠ODE＝180°－∠E＝180°－90°＝90°，即OD⊥DE

∵點(diǎn)D在⊙O上

∴DE是⊙O的切線(xiàn).

（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAE，

在△ABD和△ADE中，

，

∴△ABD∽△ADE，

∴,

∵BD＝3，AD＝4，AB==5

∴DE==.