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        1. 17.如圖,點D為等腰直角△ABC內(nèi)一點,∠ACB=90°,∠CAD=∠CBD=15°,E為AD延長線上一點,且CE=CA,給出以下結(jié)論:①DE平分∠BDC; ②△BCE是等邊三角形;③∠AEB=45°;④DE=AD+CD;正確的結(jié)論有①②③④.(請?zhí)钚蛱枺?

          分析 ①先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及已知條件得出∠DAB=∠DBA=30°,則AD=BD,再證明CD是邊AB的垂直平分線,得出∠ACD=∠BCD=45°,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠CDE=∠BDE=60°即可;
          ②先利用等角對等邊證BC=CE,再推得∠BCE=60°可得結(jié)論;
          ③利用差可求得結(jié)論:∠AEB=∠BEC-∠AEC;
          ④截取DG=DC,證明△DCG是等邊三角形,再證明△ACD≌△ECG,利用線段的和與等量代換可得結(jié)論.

          解答 解:①∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,
          ∴∠BAC=∠ABC=45°,
          ∵∠CAD=∠CBD=15°,
          ∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°,
          ∴BD=AD,
          ∴D在AB的垂直平分線上,
          ∵AC=BC,
          ∴C也在AB的垂直平分線上,
          即直線CD是AB的垂直平分線,
          ∴∠ACD=∠BCD=45°,
          ∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°,
          ∵∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°;
          ∴∠CDE=∠BDE,
          即DE平分∠BDC;
          所以①正確;
          ②∵CA=CB,CA=CE,
          ∴CB=CE,
          ∵∠CAD=∠AEC=15°,
          ∴∠ACE=180°-15°-15°=150°,
          ∵∠ACB=90°,
          ∴∠BCE=150°-90°=60°,
          ∴△BCE是等邊三角形;
          所以②正確;
          ③∵△BCE是等邊三角形,
          ∴∠BEC=60°,
          ∵∠AEC=15°,
          ∴∠AEB=60°-15°=45°,
          所以③正確;
          ④在DE上取一點G,使DC=DG,連接CG,
          ∵∠EDC=60°,
          ∴△DCG是等邊三角形,
          ∴DC=DG=CG,∠DCG=60°,
          ∴∠GCE=150°-60°-45°=45°,
          ∴∠ACD=∠GCE=45°,
          ∵AC=CE,
          ∴△ACD≌△ECG,
          ∴EG=AD,
          ∴DE=EG+DG=AD+DC,
          所以④正確;
          正確的結(jié)論有:①②③④;
          故答案為::①②③④.

          點評 本題考查了等腰三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形、等邊三角形等特殊三角形的性質(zhì)和判定,熟練掌握有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形這一判定等邊三角形的方法,在幾何證明中經(jīng)常運用,要熟練掌握.

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